0457-5

Информация о задаче

Задача №457 раздела №1 "Введение в анализ" книги Б.П. Демидовича "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" (2005 год).

Условие задачи

Найти предел [math]\lim_{x\to{+\infty}}\left(\sqrt{(x+a)(x+b)}-x\right)[/math].

Решение

[math] \lim_{x\to{+\infty}}\left(\sqrt{(x+a)(x+b)}-x\right)=|\infty-\infty|=\lim_{x\to{+\infty}}\frac{\left(\sqrt{(x+a)(x+b)}-x\right)\cdot\left(\sqrt{(x+a)(x+b)}+x\right)}{\sqrt{(x+a)(x+b)}+x}=\\ =\lim_{x\to{+\infty}}\frac{(x+a)(x+b)-x^2}{\sqrt{(x+a)(x+b)}+x} =\lim_{x\to{+\infty}}\frac{x(a+b)}{\sqrt{(x+a)(x+b)}+x} =\lim_{x\to{+\infty}}\frac{a+b}{\sqrt{\left(1+\frac{a}{x}\right)\left(1+\frac{b}{x}\right)}+1}=\frac{a+b}{2}. [/math]

Ответ

[math]\frac{a+b}{2}[/math]