0455-5

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №455 раздела №1 "Введение в анализ" книги Б.П. Демидовича "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" (2005 год).

Условие задачи

Найти пределы:

  1. [math]\lim_{x\to{1}}\frac{\sqrt[m]{x}-1}{\sqrt[n]{x}-1}[/math]
  2. [math]\lim_{x\to{1}}\left(\frac{3}{1-\sqrt{x}}-\frac{2}{1-\sqrt[3]{x}}\right)[/math]

Решение

Пункт №1

Можно использовать результат 0444-5, т.е. [math]\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[n]{1+x}-1}{x}=\frac{1}{n}[/math]. Осуществим замену переменной [math]x=1+t[/math]:

[math] \lim_{x\to{1}}\frac{\sqrt[m]{x}-1}{\sqrt[n]{x}-1}=\left|\frac{0}{0}\right|=\left|\begin{aligned}&x=1+t;\\&t\to{0}.\end{aligned}\right|=\lim_{t\to{0}}\frac{\sqrt[m]{1+t}-1}{\sqrt[n]{1+t}-1} =\lim_{t\to{0}}\frac{\frac{\sqrt[m]{1+t}-1}{t}}{\frac{\sqrt[n]{1+t}-1}{t}} =\frac{\displaystyle{\lim_{t\to{0}}\frac{\sqrt[m]{1+t}-1}{t}}}{\displaystyle{\lim_{t\to{0}}\frac{\sqrt[n]{1+t}-1}{t}}}=\frac{n}{m}. [/math]

Можно решить и иным путём, сделав замену [math]x=t^{mn}[/math]:

[math] \lim_{x\to{1}}\frac{\sqrt[m]{x}-1}{\sqrt[n]{x}-1}=\left|\frac{0}{0}\right|=\left|\begin{aligned}&x=t^{mn};\\&t\to{1}.\end{aligned}\right|=\lim_{t\to{1}}\frac{t^n-1}{t^m-1}=\\ =\lim_{t\to{1}}\frac{(t-1)\cdot\left(t^{n-1}+t^{n-2}+\ldots+t+1\right)}{(t-1)\cdot\left(t^{m-1}+t^{m-2}+\ldots+t+1\right)} =\lim_{t\to{1}}\frac{t^{n-1}+t^{n-2}+\ldots+t+1}{t^{m-1}+t^{m-2}+\ldots+t+1}=\frac{n}{m}. [/math]

Отмечу, что подобные примеры допускают немало вариантов решения. Можно пойти и иным путем, сделав замену [math]x=(1+t)^{mn}[/math].

Пункт №2

Я исправил условие этого примера. Дело в том, что в задачнике (по крайней мере, в книге 2005 года издания) указано такое условие: [math]\lim_{x\to{1}}\left(\frac{3}{1-\sqrt{x}}-\frac{3}{1-\sqrt[3]{x}}\right)[/math]. Но в этом случае получим в ответе [math]\infty[/math], что не соответствует ответу, размещенному в задачнике, т.е. [math]\frac{1}{2}[/math]. Поэтому я исправил опечатку, заменив в числителе второй дроби число 3 числом 2.

Осуществим замену переменной, приняв [math]x=t^6[/math]. Приводя дроби к одному знаменателю, будем иметь:

[math] \lim_{x\to{1}}\left(\frac{3}{1-\sqrt{x}}-\frac{2}{1-\sqrt[3]{x}}\right)=\left|\infty-\infty\right|=\left|\begin{aligned}&x=t^6;\\&t\to{1}.\end{aligned}\right|=\lim_{t\to{1}}\left(\frac{3}{1-t^3}-\frac{2}{1-t^2}\right)=\\ =\lim_{t\to{1}}\left(\frac{3}{(1-t)\cdot\left(1+t+t^2\right)}-\frac{2}{(1-t)\cdot(1+t)}\right) =\lim_{t\to{1}}\frac{1+t-2t^2}{(1-t)(1+t)\left(1+t+t^2\right)}=\\ =\lim_{t\to{1}}\frac{(1-t)(1+2t)}{(1-t)(1+t)\left(1+t+t^2\right)} =\lim_{t\to{1}}\frac{1+2t}{(1+t)\left(1+t+t^2\right)}=\frac{1}{2}. [/math]

Ответ

  1. [math]\frac{n}{m}[/math]
  2. [math]\frac{1}{2}[/math]