Задача №1969
Условие
Найти предел \(\lim_{x\to{1}}\frac{\sqrt[m]{x}-1}{\sqrt[n]{x}-1}\).
Решение
Можно использовать результат задачи 1958, т.е. \(\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[n]{1+x}-1}{x}=\frac{1}{n}\). Осуществим замену переменной \(x=1+t\):
\[
\lim_{x\to{1}}\frac{\sqrt[m]{x}-1}{\sqrt[n]{x}-1}=\left|\frac{0}{0}\right|=\left|\begin{aligned}&x=1+t;\\&t\to{0}.\end{aligned}\right|=\lim_{t\to{0}}\frac{\sqrt[m]{1+t}-1}{\sqrt[n]{1+t}-1}
=\lim_{t\to{0}}\frac{\frac{\sqrt[m]{1+t}-1}{t}}{\frac{\sqrt[n]{1+t}-1}{t}}
=\frac{\displaystyle{\lim_{t\to{0}}\frac{\sqrt[m]{1+t}-1}{t}}}{\displaystyle{\lim_{t\to{0}}\frac{\sqrt[n]{1+t}-1}{t}}}=\frac{n}{m}.
\]
Можно решить и иным путём, сделав замену \(x=t^{mn}\):
\[
\lim_{x\to{1}}\frac{\sqrt[m]{x}-1}{\sqrt[n]{x}-1}=\left|\frac{0}{0}\right|=\left|\begin{aligned}&x=t^{mn};\\&t\to{1}.\end{aligned}\right|=\lim_{t\to{1}}\frac{t^n-1}{t^m-1}=\\
=\lim_{t\to{1}}\frac{(t-1)\cdot\left(t^{n-1}+t^{n-2}+\ldots+t+1\right)}{(t-1)\cdot\left(t^{m-1}+t^{m-2}+\ldots+t+1\right)}
=\lim_{t\to{1}}\frac{t^{n-1}+t^{n-2}+\ldots+t+1}{t^{m-1}+t^{m-2}+\ldots+t+1}=\frac{n}{m}.
\]
Отмечу, что подобные примеры допускают немало вариантов решения. Можно пойти и иным путем, сделав замену \(x=(1+t)^{mn}\).
Ответ:
\(\frac{n}{m}\)