Задача №1967
Условие
Найти предел \(\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[m]{1+\alpha{x}}\cdot\sqrt[n]{1+\beta{x}}-1}{x}\), \(m\in{N}\), \(n\in{N}\).
Решение
Здесь можно использовать метод выделения главной части, а можно и результат задачи 1958, т.е. \(\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[n]{1+x}-1}{x}=\frac{1}{n}\). Также применим такую формулу: \(\lim_{x\to{0}}\sqrt[n]{1+x}=1\) (этот результат доказан в ходе решения той же задачи 1958.
Полагая, что \(\alpha\neq{0}\) и \(\beta\neq{0}\), получим:
\[
\begin{aligned}
&\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[m]{1+\alpha{x}}-1}{x}=\left|\frac{0}{0}\right|=\left|\begin{aligned}&t=\alpha{x};\;x=\frac{t}{\alpha};\\&t\to{0}.\end{aligned}\right|=\alpha\cdot\lim_{t\to{0}}\frac{\sqrt[m]{1+t}-1}{t}=\frac{\alpha}{m};\\
&\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[n]{1+\beta{x}}-1}{x}=\left|\frac{0}{0}\right|=\left|\begin{aligned}&t=\beta{x};\;x=\frac{t}{\beta};\\&t\to{0}.\end{aligned}\right|=\beta\cdot\lim_{t\to{0}}\frac{\sqrt[n]{1+t}-1}{t}=\frac{\beta}{n};\\
&\lim_{x\to{0}}\sqrt[m]{1+\alpha{x}}=\left|\begin{aligned}&t=\alpha{x};\\&t\to{0}.\end{aligned}\right|
=\lim_{t\to{0}}\sqrt[m]{1+t}=1.
\end{aligned}
\]
Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что полученные выше формулы верны и при \(\alpha=0\), \(\beta=0\).
Исходный предел преобразуем следующим образом:
\[
\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[m]{1+\alpha{x}}\cdot\sqrt[n]{1+\beta{x}}-1}{x}=\left|\frac{0}{0}\right|=\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[m]{1+\alpha{x}}\left(\sqrt[n]{1+\beta{x}}-1+1\right)-1}{x}=\\
=\lim_{x\to{0}}\left(\sqrt[m]{1+\alpha{x}}\cdot\frac{\sqrt[n]{1+\beta{x}}-1}{x}+\frac{\sqrt[m]{1+\alpha{x}}-1}{x}\right)
=1\cdot\frac{\alpha}{m}+\frac{\beta}{n}=\frac{\alpha}{m}+\frac{\beta}{n}.
\]
Можно использовать и выделение главной части, как в предыдущем примере 1966.
Ответ:
\(\frac{\alpha}{m}+\frac{\beta}{n}\)