Условие
Найти предел \(\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[m]{1+\alpha{x}}-\sqrt[n]{1+\beta{x}}}{x}\), \(m\in{N}\), \(n\in{N}\).
Решение
Здесь можно использовать метод выделения главной части, а можно и результат задачи 1958, т.е. \(\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[n]{1+x}-1}{x}=\frac{1}{n}\). Также учтём доказанный в ходе решения задачи 1958 предел \(\lim_{x\to{0}}\sqrt[n]{1+x}=1\).
Если принять, что \(\alpha\neq{0}\) и \(\beta\neq{0}\), то получим:
\[
\begin{aligned}
\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[m]{1+\alpha{x}}-1}{x}=\left|\frac{0}{0}\right|=\left|\begin{aligned}&t=\alpha{x};\;x=\frac{t}{\alpha};\\&t\to{0}.\end{aligned}\right|=\alpha\cdot\lim_{t\to{0}}\frac{\sqrt[m]{1+t}-1}{t}=\frac{\alpha}{m};\\
\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[n]{1+\beta{x}}-1}{x}=\left|\frac{0}{0}\right|=\left|\begin{aligned}&t=\beta{x};\;x=\frac{t}{\beta};\\&t\to{0}.\end{aligned}\right|=\beta\cdot\lim_{t\to{0}}\frac{\sqrt[n]{1+t}-1}{t}=\frac{\beta}{n}.
\end{aligned}
\]
Полученные результаты верны и при \(\alpha=0\) и \(\beta=0\), что подтверждается непосредственной проверкой. Таким образом, исходный предел преобразуется так:
\[
\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[m]{1+\alpha{x}}-\sqrt[n]{1+\beta{x}}}{x}=\left|\frac{0}{0}\right|=\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[m]{1+\alpha{x}}-1-\left(\sqrt[n]{1+\beta{x}}-1\right)}{x}=\\
=\lim_{x\to{0}}\left(\frac{\sqrt[m]{1+\alpha{x}}-1}{x}-\frac{\sqrt[n]{1+\beta{x}}-1}{x}\right)
=\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[m]{1+\alpha{x}}-1}{x}-\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[n]{1+\beta{x}}-1}{x}
=\frac{\alpha}{m}-\frac{\beta}{n}.
\]
Можно использовать и выделение главной части. Результат, разумеется, будет таким же:
\[
\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[m]{1+\alpha{x}}-\sqrt[n]{1+\beta{x}}}{x}=\left|\frac{0}{0}\right|=\lim_{x\to{0}}\frac{1+\frac{\alpha{x}}{m}+o(x)-\left(1+\frac{\beta{x}}{n}+o(x)\right)}{x}=\\
=\lim_{x\to{0}}\frac{\frac{\alpha{x}}{m}-\frac{\beta{x}}{n}+o(x)}{x}=\left|\begin{aligned}&\frac{\alpha{x}}{m}-\frac{\beta{x}}{n}+o(x)\sim\frac{\alpha{x}}{m}-\frac{\beta{x}}{n};\\&x\sim{x}.\end{aligned}\right|
=\lim_{x\to{0}}\frac{\frac{\alpha{x}}{m}-\frac{\beta{x}}{n}}{x}=\frac{\alpha}{m}-\frac{\beta}{n}.
\]