Задача №1965
Условие
Найти предел \(\lim_{x\to{0}}\frac{x^2}{\sqrt[5]{1+5x}-(1+x)}\).
Решение
Здесь можно использовать и домножение на сопряжённое выражение, но более простой путь – применить замену переменной. Полагая \(t=\sqrt[5]{1+5x}\), получим: \(x=\frac{t^5-1}{5}\). Так как \(x\to{0}\), то \(t\to{1}\):
\[
\lim_{x\to{0}}\frac{x^2}{\sqrt[5]{1+5x}-(1+x)}=\left|\frac{0}{0}\right|=\lim_{t\to{1}}\frac{\left(\frac{t^5-1}{5}\right)^2}{t-\left(1+\frac{t^5-1}{5}\right)}=-\frac{1}{5}\cdot\lim_{t\to{1}}\frac{\left(t^5-1\right)^2}{t^5-5t+4}=\\
=-\frac{1}{5}\cdot\lim_{t\to{1}}\frac{(t-1)^2\cdot\left(t^4+t^3+t^2+t+1\right)^2}{(t-1)^2\cdot\left(t^3+2t^2+3t+4\right)}
=-\frac{1}{5}\cdot\lim_{t\to{1}}\frac{\left(t^4+t^3+t^2+t+1\right)^2}{(t^3+2t^2+3t+4}=-\frac{1}{5}\cdot\frac{25}{10}=-\frac{1}{2}.
\]
Решение можно было оформить и чуток по-иному, используя выделение главной части (см. Ляшко, Боярчук, Гай, Головач "Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл", №160 (стр.74)). Полагая \(t=\sqrt[5]{1+5x}-1\), получим: \(x=\frac{(t+1)^5-1}{5}\). Так как \(t\to{0}\), то:
\[
\lim_{x\to{0}}\frac{x^2}{\sqrt[5]{1+5x}-(1+x)}=\left|\frac{0}{0}\right|=\lim_{t\to{0}}\frac{\left(\frac{(t+1)^5-1}{5}\right)^2}{t+1-\left(1+\frac{(t+1)^5-1}{5}\right)}=-\frac{1}{5}\cdot\lim_{t\to{0}}\frac{\left((t+1)^5-1\right)^2}{(t+1)^5-5t-1}=\\
=-\frac{1}{5}\cdot\lim_{t\to{0}}\frac{\left(5t+o(t)\right)^2}{5t+10t^2+1+o(t^2)-5t-1}
=-\frac{1}{5}\cdot\lim_{t\to{0}}\frac{25t^2+o(t^2)}{10t^2+o(t^2)}=\\
=-\lim_{t\to{0}}\frac{t^2+o(t^2)}{2t^2+o(t^2)}
=\left|\begin{aligned}&t^2+o(t^2)\sim{t^2}\\&2t^2+o(t^2)\sim{2t^2}\end{aligned}\right|
=-\lim_{t\to{0}}\frac{t^2}{2t^2}=-\frac{1}{2}.
\]
Ответ:
\(-\frac{1}{2}\)