0450-5

Информация о задаче

Задача №450 раздела №1 "Введение в анализ" книги Б.П. Демидовича "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" (2005 год).

Условие задачи

Найти предел [math]\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[3]{1+\frac{x}{3}}-\sqrt[4]{1+\frac{x}{4}}}{1-\sqrt{1-\frac{x}{2}}}[/math].

Решение

Здесь можно использовать любой из трёх способов, применённых при решении предыдущей задачи 0449-5. Решим данный пример с помощью асимптотических равенств, так как этот путь наиболее короток:

[math] \begin{aligned} & \sqrt[3]{1+\frac{x}{3}}=\left(1+\frac{x}{3}\right)^\frac{1}{3}=1+\frac{x}{3\cdot{3}}+o(x)=1+\frac{x}{9}+o(x);\\ & \sqrt[4]{1+\frac{x}{4}}=\left(1+\frac{x}{4}\right)^\frac{1}{4}=1+\frac{x}{4\cdot{4}}+o(x)=1+\frac{x}{16}+o(x);\\ & \sqrt{1-\frac{x}{2}}=\left(1+\left(-\frac{x}{2}\right)\right)^\frac{1}{2}=1-\frac{x}{2\cdot{2}}+o(x)=1-\frac{x}{4}+o(x). \end{aligned} [/math]

[math] \lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[3]{1+\frac{x}{3}}-\sqrt[4]{1+\frac{x}{4}}}{1-\sqrt{1-\frac{x}{2}}}=\left|\frac{0}{0}\right| =\lim_{x\to{0}}\frac{1+\frac{x}{9}+o(x)-\left(1+\frac{x}{16}+o(x)\right)}{1-\left(1-\frac{x}{4}+o(x)\right)}=\\ =\lim_{x\to{0}}\frac{7x+o(x)}{36x+o(x)} =\left|\begin{aligned}&7x+o(x)\sim{7x};\\&36x+o(x)\sim{36x}.\end{aligned}\right|=\lim_{x\to{0}}\frac{7x}{36x}=\frac{7}{36}. [/math]

Ответ

[math]\frac{7}{36}[/math]