0449-5
Информация о задаче
Задача №449 раздела №1 "Введение в анализ" книги Б.П. Демидовича "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" (2005 год).
Условие задачи
Найти предел [math]\lim_{x\to{7}}\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt[3]{x+20}}{\sqrt[4]{x+9}-2}[/math].
Решение
Этот пример можно решить несколькими способами; выбирайте тот, который вам более нравится: домножить на сопряжённое, разбить на два предела, применить асимптотические равенства (метод выделения главной части).
Первый способ
Чтобы не загромождать решение длинными записями, я заранее напишу те сопряжённые выражения, на которые будем домножать:
[dmath]
\begin{aligned}
& P(x)=\sqrt{x+2}+\sqrt[3]{x+20};\;\lim_{x\to{7}}P(x)=6.\\
& Q(x)=(x+2)^2+(x+2)\cdot\sqrt[3]{(x+2)^2}+\sqrt[3]{(x+20)^4};\;\lim_{x\to{7}}Q(x)=243.\\
& R(x)=\left(\sqrt[4]{x+9}+2\right)\cdot\left(\sqrt{x+9}+4\right);\;\lim_{x\to{7}}R(x)=32.
\end{aligned}
[/dmath]
[dmath]\lim_{x\to{7}}\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt[3]{x+20}}{\sqrt[4]{x+9}-2}=\left|\frac{0}{0}\right|
=\lim_{x\to{7}}\frac{\left(\sqrt{x+2}-\sqrt[3]{x+20}\right)\cdot{P(x)}\cdot{Q(x)}\cdot{R(x)}}{\left(\sqrt[4]{x+9}-2\right)\cdot{R(x)}\cdot{P(x)}\cdot{Q(x)}}=\\
=\lim_{x\to{7}}\frac{\left((x+2)^3-(x+20)^2\right)\cdot{R(x)}}{\left(x-7\right)\cdot{P(x)}\cdot{Q(x)}}
=\lim_{x\to{7}}\frac{\left(x^3+5x^2-28x-392\right)\cdot{R(x)}}{\left(x-7\right)\cdot{P(x)}\cdot{Q(x)}}=\\
=\lim_{x\to{7}}\frac{(x-7)\left(x^2+12x+56\right)\cdot{R(x)}}{\left(x-7\right)\cdot{P(x)}\cdot{Q(x)}}
=\lim_{x\to{7}}\frac{\left(x^2+12x+56\right)\cdot{R(x)}}{P(x)\cdot{Q(x)}}
=\frac{189\cdot{32}}{6\cdot{243}}=\frac{112}{27}.
[/dmath]
Второй способ
При решении этим способом выражение под пределом требуется разбить на два и после преобразований рассмотреть два предела по отдельности. Я вновь введу сокращенные обозначения для сопряжённых выражений:
[dmath]
\begin{aligned}
& P(x)=\sqrt{x+2}+3;\;\lim_{x\to{7}}P(x)=6.\\
& Q(x)=\sqrt[3]{(x+20)^2}+3\cdot\sqrt[3]{x+2}+9;\;\lim_{x\to{7}}Q(x)=27.\\
& R(x)=\left(\sqrt[4]{x+9}+2\right)\cdot\left(\sqrt{x+9}+4\right);\;\lim_{x\to{7}}R(x)=32.
\end{aligned}
[/dmath]
[dmath] \lim_{x\to{7}}\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt[3]{x+20}}{\sqrt[4]{x+9}-2}=\left|\frac{0}{0}\right| =\lim_{x\to{7}}\frac{\sqrt{x+2}-3-\sqrt[3]{x+20}+3}{\sqrt[4]{x+9}-2}=\\ =\lim_{x\to{7}}\left(\frac{\sqrt{x+2}-3}{\sqrt[4]{x+9}-2}-\frac{\sqrt[3]{x+20}-3}{\sqrt[4]{x+9}-2}\right)=\\ =\lim_{x\to{7}}\left(\frac{\left(\sqrt{x+2}-3\right)\cdot{P(x)}\cdot{R(x)}}{\left(\sqrt[4]{x+9}-2\right)\cdot{R(x)}\cdot{P(x)}}-\frac{\left(\sqrt[3]{x+20}-3\right)\cdot{Q(x)}\cdot{R(x)}}{\left(\sqrt[4]{x+9}-2\right)\cdot{R(x)}\cdot{Q(x)}}\right)=\\ =\lim_{x\to{7}}\left(\frac{\left(x-7\right)\cdot{R(x)}}{\left(x-7\right)\cdot{P(x)}}-\frac{\left(x-7\right)\cdot{R(x)}}{\left(x-7\right)\cdot{Q(x)}}\right) =\lim_{x\to{7}}\frac{R(x)}{P(x)}-\lim_{x\to{7}}\frac{R(x)}{Q(x)}=\frac{32}{6}-\frac{32}{27}=\frac{112}{27}. [/dmath]
Третий способ
При решении этим способом применим асимптотические равенства:
[dmath] \begin{aligned} & \sqrt{x+2}=\sqrt{9+x-7}=3\cdot\left(1+\frac{x-7}{9}\right)^{\frac{1}{2}}=3\cdot\left(1+\frac{x-7}{2\cdot{9}}+o(x-7)\right)=3+\frac{x-7}{6}+o(x-7);\\ & \sqrt[3]{x+20}=\sqrt[3]{27+x-7}=3\cdot\left(1+\frac{x-7}{27}\right)^{\frac{1}{3}}=3\cdot\left(1+\frac{x-7}{27\cdot{3}}+o(x-7)\right)=3+\frac{x-7}{27}+o(x-7);\\ & \sqrt[4]{x+9}=\sqrt[4]{16+x-7}=2\cdot\left(1+\frac{x-7}{16}\right)^{\frac{1}{4}}=2\cdot\left(1+\frac{x-7}{16\cdot{4}}+o(x-7)\right)=2+\frac{x-7}{32}+o(x-7). \end{aligned} [/dmath]
[dmath]
\lim_{x\to{7}}\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt[3]{x+20}}{\sqrt[4]{x+9}-2}=\left|\frac{0}{0}\right|
=\lim_{x\to{7}}\frac{3+\frac{x-7}{6}+o(x-7)-\left(3+\frac{x-7}{27}+o(x-7)\right)}{2+\frac{x-7}{32}+o(x-7)-2}=\\
=\lim_{x\to{7}}\frac{112(x-7)+o(x-7)}{27(x-7)+o(x-7)}=\left|\begin{aligned}&112(x-7)+o(x-7)\sim{112(x-7)};\\&27(x-7)+o(x-7)\sim{27(x-7)}.\end{aligned}\right|=\lim_{x\to{7}}\frac{112(x-7)}{27(x-7)}=\frac{112}{27}.
[/dmath]
Ответ
[math]\frac{112}{27}[/math]
