0449-5

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №449 раздела №1 "Введение в анализ" книги Б.П. Демидовича "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" (2005 год).

Условие задачи

Найти предел [math]\lim_{x\to{7}}\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt[3]{x+20}}{\sqrt[4]{x+9}-2}[/math].

Решение

Этот пример можно решить несколькими способами; выбирайте тот, который вам более нравится: домножить на сопряжённое, разбить на два предела, применить асимптотические равенства (метод выделения главной части).

Первый способ

Чтобы не загромождать решение длинными записями, я заранее напишу те сопряжённые выражения, на которые будем домножать:


[math] \begin{aligned} & P(x)=\sqrt{x+2}+\sqrt[3]{x+20};\;\lim_{x\to{7}}P(x)=6.\\ & Q(x)=(x+2)^2+(x+2)\cdot\sqrt[3]{(x+2)^2}+\sqrt[3]{(x+20)^4};\;\lim_{x\to{7}}Q(x)=243.\\ & R(x)=\left(\sqrt[4]{x+9}+2\right)\cdot\left(\sqrt{x+9}+4\right);\;\lim_{x\to{7}}R(x)=32. \end{aligned} [/math]


[math]\lim_{x\to{7}}\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt[3]{x+20}}{\sqrt[4]{x+9}-2}=\left|\frac{0}{0}\right| =\lim_{x\to{7}}\frac{\left(\sqrt{x+2}-\sqrt[3]{x+20}\right)\cdot{P(x)}\cdot{Q(x)}\cdot{R(x)}}{\left(\sqrt[4]{x+9}-2\right)\cdot{R(x)}\cdot{P(x)}\cdot{Q(x)}}=\\ =\lim_{x\to{7}}\frac{\left((x+2)^3-(x+20)^2\right)\cdot{R(x)}}{\left(x-7\right)\cdot{P(x)}\cdot{Q(x)}} =\lim_{x\to{7}}\frac{\left(x^3+5x^2-28x-392\right)\cdot{R(x)}}{\left(x-7\right)\cdot{P(x)}\cdot{Q(x)}}=\\ =\lim_{x\to{7}}\frac{(x-7)\left(x^2+12x+56\right)\cdot{R(x)}}{\left(x-7\right)\cdot{P(x)}\cdot{Q(x)}} =\lim_{x\to{7}}\frac{\left(x^2+12x+56\right)\cdot{R(x)}}{P(x)\cdot{Q(x)}} =\frac{189\cdot{32}}{6\cdot{243}}=\frac{112}{27}.[/math]

Второй способ

При решении этим способом выражение под пределом требуется разбить на два и после преобразований рассмотреть два предела по отдельности. Я вновь введу сокращенные обозначения для сопряжённых выражений:


[math] \begin{aligned} & P(x)=\sqrt{x+2}+3;\;\lim_{x\to{7}}P(x)=6.\\ & Q(x)=\sqrt[3]{(x+20)^2}+3\cdot\sqrt[3]{x+2}+9;\;\lim_{x\to{7}}Q(x)=27.\\ & R(x)=\left(\sqrt[4]{x+9}+2\right)\cdot\left(\sqrt{x+9}+4\right);\;\lim_{x\to{7}}R(x)=32. \end{aligned} [/math]

[math] \lim_{x\to{7}}\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt[3]{x+20}}{\sqrt[4]{x+9}-2}=\left|\frac{0}{0}\right| =\lim_{x\to{7}}\frac{\sqrt{x+2}-3-\sqrt[3]{x+20}+3}{\sqrt[4]{x+9}-2}=\\ =\lim_{x\to{7}}\left(\frac{\sqrt{x+2}-3}{\sqrt[4]{x+9}-2}-\frac{\sqrt[3]{x+20}-3}{\sqrt[4]{x+9}-2}\right)=\\ =\lim_{x\to{7}}\left(\frac{\left(\sqrt{x+2}-3\right)\cdot{P(x)}\cdot{R(x)}}{\left(\sqrt[4]{x+9}-2\right)\cdot{R(x)}\cdot{P(x)}}-\frac{\left(\sqrt[3]{x+20}-3\right)\cdot{Q(x)}\cdot{R(x)}}{\left(\sqrt[4]{x+9}-2\right)\cdot{R(x)}\cdot{Q(x)}}\right)=\\ =\lim_{x\to{7}}\left(\frac{\left(x-7\right)\cdot{R(x)}}{\left(x-7\right)\cdot{P(x)}}-\frac{\left(x-7\right)\cdot{R(x)}}{\left(x-7\right)\cdot{Q(x)}}\right)=\\ =\lim_{x\to{7}}\frac{R(x)}{P(x)}-\lim_{x\to{7}}\frac{R(x)}{Q(x)}=\frac{32}{6}-\frac{32}{27}=\frac{112}{27}. [/math]

Третий способ

При решении этим способом применим асимптотические равенства:

[math] \begin{aligned} & \sqrt{x+2}=\sqrt{9+x-7}=3\cdot\left(1+\frac{x-7}{9}\right)^{\frac{1}{2}}=3\cdot\left(1+\frac{x-7}{2\cdot{9}}+o(x-7)\right)=3+\frac{x-7}{6}+o(x-7);\\ & \sqrt[3]{x+20}=\sqrt[3]{27+x-7}=3\cdot\left(1+\frac{x-7}{27}\right)^{\frac{1}{3}}=3\cdot\left(1+\frac{x-7}{27\cdot{3}}+o(x-7)\right)=3+\frac{x-7}{27}+o(x-7);\\ & \sqrt[4]{x+9}=\sqrt[4]{16+x-7}=2\cdot\left(1+\frac{x-7}{16}\right)^{\frac{1}{4}}=2\cdot\left(1+\frac{x-7}{16\cdot{4}}+o(x-7)\right)=2+\frac{x-7}{32}+o(x-7). \end{aligned} [/math]


[math] \lim_{x\to{7}}\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt[3]{x+20}}{\sqrt[4]{x+9}-2}=\left|\frac{0}{0}\right| =\lim_{x\to{7}}\frac{3+\frac{x-7}{6}+o(x-7)-\left(3+\frac{x-7}{27}+o(x-7)\right)}{2+\frac{x-7}{32}+o(x-7)-2}=\\ =\lim_{x\to{7}}\frac{112(x-7)+o(x-7)}{27(x-7)+o(x-7)}=\left|\begin{aligned}&112(x-7)+o(x-7)\sim{112(x-7)};\\&27(x-7)+o(x-7)\sim{27(x-7)}.\end{aligned}\right|=\lim_{x\to{7}}\frac{112(x-7)}{27(x-7)}=\frac{112}{27}. [/math]

Ответ

[math]\frac{112}{27}[/math]