0445-5

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №445 раздела №1 "Введение в анализ" книги Б.П. Демидовича "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" (2005 год).

Условие задачи

Найти предел [math]\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt{1-2x-x^2}-(1+x)}{x}[/math].

Решение

[math] \lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt{1-2x-x^2}-(1+x)}{x}=\left|\frac{0}{0}\right| =\lim_{x\to{0}}\frac{\left(\sqrt{1-2x-x^2}-(1+x)\right)\cdot\left(\sqrt{1-2x-x^2}+(1+x)\right)}{x\cdot\left(\sqrt{1-2x-x^2}+(1+x)\right)}=\\ =\lim_{x\to{0}}\frac{1-2x-x^2-(1+x)^2}{x\cdot\left(\sqrt{1-2x-x^2}+(1+x)\right)} =\lim_{x\to{0}}\frac{-2x\cdot(x+2)}{x\cdot\left(\sqrt{1-2x-x^2}+(1+x)\right)}=\\ =-2\cdot\lim_{x\to{0}}\frac{x+2}{\sqrt{1-2x-x^2}+1+x}=-2\cdot\frac{2}{2}=-2. [/math]


Ответ

[math]-2[/math]