Задача №1196
Условие
\(f(x)=x^2\); найти \(f'(5)\), \(f'(-2)\), \(f'\left(-\frac{3}{2}\right)\).
Решение
Найдём значение \(f'(x)\) в общем виде:
\[
f'(x)
=\lim_{\Delta{x}\to{0}}\frac{\left(x+\Delta{x}\right)^2-x^2}{\Delta{x}}
=\lim_{\Delta{x}\to{0}}\frac{2x\cdot\Delta{x}+\left(\Delta{x}\right)^2}{\Delta{x}}
=\lim_{\Delta{x}\to{0}}\left(2x+\Delta{x}\right)
=2x.
\]
Подставляя вместо \(x\) соответствующие числовые значения, получим:
\[
f'(5)=2\cdot{5}=10;\;f'(-2)=2\cdot(-2)=-4;\;f'\left(-\frac{3}{2}\right)=2\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)=-3.
\]
Ответ:
\(f'(5)=10\), \(f'(-2)=-4\), \(f'\left(-\frac{3}{2}\right)=-3\).