0441-5
Информация о задаче
Задача №441 раздела №1 "Введение в анализ" книги Б.П. Демидовича "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" (2005 год).
Условие задачи
Найти предел [math]\lim_{x\to-2}\frac{\sqrt[3]{x-6}+2}{x^3+8}[/math].
Решение
[dmath] \lim_{x\to-2}\frac{\sqrt[3]{x-6}+2}{x^3+8}=\left|\frac{0}{0}\right|= \lim_{x\to-2}\frac{\sqrt[3]{x-6}+2}{(x+2)\left(x^2-2x+4\right)}=\\= \lim_{x\to-2}\frac{\left(\sqrt[3]{x-6}+2\right)\cdot\left(\sqrt[3]{(x-6)^2}-2\sqrt[3]{x-6}+4\right)}{(x+2)\left(x^2-2x+4\right)\cdot\left(\sqrt[3]{(x-6)^2}-2\sqrt[3]{x-6}+4\right)}=\\= \lim_{x\to-2}\frac{x+2}{(x+2)\left(x^2-2x+4\right)\cdot\left(\sqrt[3]{(x-6)^2}-2\sqrt[3]{x-6}+4\right)}=\\= \lim_{x\to-2}\frac{1}{\left(x^2-2x+4\right)\cdot\left(\sqrt[3]{(x-6)^2}-2\sqrt[3]{x-6}+4\right)}=\frac{1}{12\cdot{12}}=\frac{1}{144}. [/dmath]
Ответ
[math]\frac{1}{144}[/math].
