0429-5
Информация о задаче
Задача №429 раздела №1 "Введение в анализ" книги Б.П. Демидовича "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" (2005 год).
Условие задачи
Найти предел [math]\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\left( \left(x+\frac{a}{n}\right)+\left(x+\frac{2a}{n}\right)+\ldots+\left(x+\frac{(n-1)a}{n}\right) \right)[/math].
Решение
[dmath] \frac{1}{n}\left( \left(x+\frac{a}{n}\right)+\left(x+\frac{2a}{n}\right)+\ldots+\left(x+\frac{(n-1)a}{n}\right) \right) =\frac{1}{n}\left(nx+\frac{a}{n}\cdot\left(1+2+\ldots+(n-1)\right)\right) =x+a\cdot\frac{n-1}{2n} [/dmath]
[dmath] \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\left( \left(x+\frac{a}{n}\right)+\left(x+\frac{2a}{n}\right)+\ldots+\left(x+\frac{(n-1)a}{n}\right) \right) =\lim_{n\to\infty}\left(x+\frac{a}{2}\cdot\left(1-\frac{1}{n}\right)\right) =x+\frac{a}{2}. [/dmath]
Ответ
[math]x+\frac{a}{2}[/math]
