0427-5

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №427 раздела №1 "Введение в анализ" книги Б.П. Демидовича "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" (2005 год).

Условие задачи

Найти предел [math]\lim_{x\to{1}}\frac{x^{n+1}-(n+1)x+n}{(x-1)^2}[/math], где [math]n\in{N}[/math].

Решение

Замена: [math]t=x-1[/math], [math]t\to{0}[/math].

[math] \lim_{x\to{1}}\frac{x^{n+1}-(n+1)x+n}{(x-1)^2} =\lim_{t\to{0}}\frac{(1+t)^{n+1}-(n+1)(1+t)+n}{t^2}=\\ =\lim_{t\to{0}}\frac{1+(n+1)t+\frac{n(n+1)}{2}t^2+o\left(t^2\right)-(n+1)-(n+1)t+n}{t^2} =\lim_{t\to{0}}\left(\frac{n(n+1)}{2}+\frac{o\left(t^2\right)}{t^2}\right) =\frac{n(n+1)}{2}. [/math]


Ответ

[math]\frac{n(n+1)}{2}[/math]