Задача №1952
Условие
Найти предел \(\lim_{x\to{1}}\frac{x^{n+1}-(n+1)x+n}{(x-1)^2}\), где \(n\in{N}\).
Решение
Замена: \(t=x-1\), \(t\to{0}\).
\[
\lim_{x\to{1}}\frac{x^{n+1}-(n+1)x+n}{(x-1)^2}
=\lim_{t\to{0}}\frac{(1+t)^{n+1}-(n+1)(1+t)+n}{t^2}=\\
=\lim_{t\to{0}}\frac{1+(n+1)t+\frac{n(n+1)}{2}t^2+o\left(t^2\right)-(n+1)-(n+1)t+n}{t^2}
=\lim_{t\to{0}}\left(\frac{n(n+1)}{2}+\frac{o\left(t^2\right)}{t^2}\right)
=\frac{n(n+1)}{2}.
\]
Ответ:
\(\frac{n(n+1)}{2}\)