Задача №1951
Условие
Найти предел \(\lim_{x\to{a}}\frac{\left(x^n-a^n\right)-na^{n-1}(x-a)}{(x-a)^2}\).
Решение
Первый способ
\[
\left(x^n-a^n\right)-na^{n-1}(x-a)
=(x-a)\cdot\left(x^{n-1}+ax^{n-2}+a^2x^{n-3}+\ldots+a^{n-2}x+a^{n-1}-na^{n-1}\right)
\]
Разделим многочлен, стоящий во второй скобке, на \(x-a\) по схеме Горнера:
\[
\begin{array} {c|c|c|c|c|c|c} & 1 & a & a^2 & \ldots & a^{n-2} & a^{n-1}-na^{n-1}\\ \hline a & 1 & 2a & 3a^2 & \ldots & (n-1)a^{n-2} & 0 \end{array}
\]
\[
x^{n-1}+ax^{n-2}+a^2x^{n-3}+\ldots+a^{n-2}x+a^{n-1}-na^{n-1}=\\
=(x-a)\cdot\left(x^{n-2}+2ax^{n-3}+3a^2x^{n-4}+...+(n-1)a^{n-2}\right)
\]
Возвращаясь к исходному пределу, получим:
\[
\lim_{x\to{a}}\frac{\left(x^n-a^n\right)-na^{n-1}(x-a)}{(x-a)^2}=\\
=\lim_{x\to{a}}\frac{(x-a)^2\cdot\left(x^{n-2}+2ax^{n-3}+3a^2x^{n-4}+...+(n-1)a^{n-2}\right)}{(x-a)^2}=\\
=\lim_{x\to{a}}\left(x^{n-2}+2ax^{n-3}+3a^2x^{n-4}+...+(n-1)a^{n-2}\right)=\\
=(1+2+\ldots+(n-1))\cdot{a^{n-2}}
=\frac{(n-1)n}{2}\cdot{a^{n-2}}
\]
Второй способ
Замена: \(t=x-a\), \(t\to{0}\).
\[
\lim_{x\to{a}}\frac{\left(x^n-a^n\right)-na^{n-1}(x-a)}{(x-a)^2}
=\lim_{t\to{0}}\frac{(a+t)^n-a^n-na^{n-1}t}{t^2}=\\
=\lim_{t\to{0}}\frac{a^n+na^{n-1}t+\frac{(n-1)n}{2}\cdot{a^{n-2}}t^2+o\left(t^2\right)-a^n-na^{n-1}\cdot{t}}{t^2}=\\
=\lim_{t\to{0}}\left(\frac{(n-1)n}{2}\cdot{a^{n-2}}+\frac{o\left(t^2\right)}{t^2}\right)
=\frac{(n-1)n}{2}\cdot{a^{n-2}}.
\]
Ответ:
\(\frac{(n-1)n}{2}\cdot{a^{n-2}}\)