0426-5

Информация о задаче

Задача №426 раздела №1 "Введение в анализ" книги Б.П. Демидовича "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" (2005 год).

Условие задачи

Найти предел [math]\lim_{x\to{a}}\frac{\left(x^n-a^n\right)-na^{n-1}(x-a)}{(x-a)^2}[/math].

Решение

Первый способ

[math] \left(x^n-a^n\right)-na^{n-1}(x-a) =(x-a)\cdot\left(x^{n-1}+ax^{n-2}+a^2x^{n-3}+\ldots+a^{n-2}x+a^{n-1}-na^{n-1}\right) [/math]

Разделим многочлен, стоящий во второй скобке, на [math]x-a[/math] по схеме Горнера:

[dmath] \begin{array} {c|c|c|c|c|c|c} & 1 & a & a^2 & \ldots & a^{n-2} & a^{n-1}-na^{n-1}\\ \hline a & 1 & 2a & 3a^2 & \ldots & (n-1)a^{n-2} & 0 \end{array} [/dmath]

[dmath] x^{n-1}+ax^{n-2}+a^2x^{n-3}+\ldots+a^{n-2}x+a^{n-1}-na^{n-1} =(x-a)\cdot\left(x^{n-2}+2ax^{n-3}+3a^2x^{n-4}+...+(n-1)a^{n-2}\right) [/dmath]

Возвращаясь к исходному пределу, получим:

[math] \lim_{x\to{a}}\frac{\left(x^n-a^n\right)-na^{n-1}(x-a)}{(x-a)^2} =\lim_{x\to{a}}\frac{(x-a)^2\cdot\left(x^{n-2}+2ax^{n-3}+3a^2x^{n-4}+...+(n-1)a^{n-2}\right)}{(x-a)^2}=\\ =\lim_{x\to{a}}\left(x^{n-2}+2ax^{n-3}+3a^2x^{n-4}+...+(n-1)a^{n-2}\right) =(1+2+\ldots+(n-1))\cdot{a^{n-2}} =\frac{(n-1)n}{2}\cdot{a^{n-2}} [/math]

Второй способ

Замена: [math]t=x-a[/math], [math]t\to{0}[/math].

[math] \lim_{x\to{a}}\frac{\left(x^n-a^n\right)-na^{n-1}(x-a)}{(x-a)^2} =\lim_{t\to{0}}\frac{(a+t)^n-a^n-na^{n-1}t}{t^2}=\\ =\lim_{t\to{0}}\frac{a^n+na^{n-1}t+\frac{(n-1)n}{2}\cdot{a^{n-2}}t^2+o\left(t^2\right)-a^n-na^{n-1}\cdot{t}}{t^2} =\lim_{t\to{0}}\left(\frac{(n-1)n}{2}\cdot{a^{n-2}}+\frac{o\left(t^2\right)}{t^2}\right) =\frac{(n-1)n}{2}\cdot{a^{n-2}}. [/math]

Ответ

[math]\frac{(n-1)n}{2}\cdot{a^{n-2}}[/math]