0425-5

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №425 раздела №1 "Введение в анализ" книги Б.П. Демидовича "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" (2005 год).

Условие задачи

Найти предел [math]\lim_{x\to{1}}\frac{x^m-1}{x^n-1}[/math], где [math]m\in{N}[/math], [math]n\in{N}[/math].

Решение

Решение этого примера имеется в решебнике Бермана (см. 0280-1). Здесь, для разнообразия, решим иным способом: введя переменную [math]t=x-1[/math], [math]t\to{0}[/math].

[math] \lim_{x\to{1}}\frac{x^m-1}{x^n-1} =\lim_{t\to{0}}\frac{(1+t)^m-1}{(1+t)^n-1} =\lim_{t\to{0}}\frac{1+mt+o(t)-1}{1+nt+o(t)-1} =\lim_{t\to{0}}\frac{mt+o(t)}{nt+o(t)} =\frac{m}{n}. [/math]

Ответ

[math]\frac{m}{n}[/math]