Задача №1073
Условие
Найти предел \(\lim_{x\to{1}}\frac{x^m-1}{x^n-1}\).
Решение
Первый способ
\[
\lim_{x\to{1}}\frac{x^m-1}{x^n-1}
=\left[\frac{0}{0}\right]
=\lim_{x\to{1}}\frac{(x-1)\left(x^{m-1}+x^{m-2}+...+1\right)}{(x-1)\left(x^{n-1}+x^{n-2}+...+1\right)}
=\lim_{x\to{1}}\frac{x^{m-1}+x^{m-2}+...+1}{x^{n-1}+x^{n-2}+...+1}
=\frac{m}{n}.
\]
Второй способ
Введём новую переменную \(t=x-1\), \(t\to{0}\).
\[
\lim_{x\to{1}}\frac{x^m-1}{x^n-1}
=\lim_{t\to{0}}\frac{(1+t)^m-1}{(1+t)^n-1}
=\lim_{t\to{0}}\frac{1+mt+o(t)-1}{1+nt+o(t)-1}
=\lim_{t\to{0}}\frac{mt+o(t)}{nt+o(t)}
=\frac{m}{n}.
\]
Ответ:
\(\frac{m}{n}\)