0417-5
Информация о задаче
Задача №417 раздела №1 "Введение в анализ" книги Б.П. Демидовича "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" (2005 год).
Условие задачи
Найти предел [math]\lim_{x\to\infty}\frac{(x+1)\left(x^2+1\right)\cdot\ldots\cdot\left(x^n+1\right)}{\left((nx)^n+1\right)^{\frac{n+1}{2}}}[/math].
Решение
Наибольшая степень [math]x[/math] в числителе будет такой: [math]1+2+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}[/math]. Разделив числитель и знаменатель на [math]x^{\frac{n(n+1)}{2}}[/math], получим:
[dmath] \lim_{x\to\infty}\frac{(x+1)\left(x^2+1\right)\cdot\ldots\cdot\left(x^n+1\right)}{\left((nx)^n+1\right)^{\frac{n+1}{2}}} =\lim_{x\to\infty}\frac{(1+\frac{1}{x})\left(1+\frac{1}{x^2}\right)\cdot\ldots\cdot\left(1+\frac{1}{x^n}\right)}{\left(n^n+\frac{1}{x^n}\right)^{\frac{n+1}{2}}} =n^{-\frac{n(n+1)}{2}}. [/dmath]
Ответ
[math]n^{-\frac{n(n+1)}{2}}[/math]
