0414-5
Информация о задаче
Задача №414 раздела №1 "Введение в анализ" книги Б.П. Демидовича "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" (2005 год).
Условие задачи
Найти предел [math]\lim_{x\to{0}}\frac{(1+mx)^n-(1+nx)^m}{x^2}[/math], где [math]m\in{N}[/math], [math]n\in{N}[/math].
Решение
Применяя формулу бинома Ньютона, получим:
[dmath] (1+mx)^n =1+mnx+\frac{(n-1)n}{2}\cdot{n^2x^2}+o\left(x^2\right);\\ (1+nx)^m =1+mnx+\frac{(m-1)m}{2}\cdot{m^2x^2}+o\left(x^2\right). [/dmath]
Возвращаясь к исходному пределу, получим:
[dmath] \lim_{x\to{0}}\frac{(1+mx)^n-(1+nx)^m}{x^2} =\lim_{x\to{0}}\frac{1+mnx+\frac{(n-1)n}{2}\cdot{n^2x^2}+o\left(x^2\right)-\left(1+mnx+\frac{(m-1)m}{2}\cdot{m^2x^2}+o\left(x^2\right)\right)}{x^2}=\\ =\lim_{x\to{0}}\left(\frac{(n-1)n}{2}\cdot{n^2}+\frac{(m-1)m}{2}\cdot{m^2}+\frac{o\left(x^2\right)}{x^2}\right) =\frac{nm\cdot(n-m)}{2}. [/dmath]
Ответ
[math]\frac{nm\cdot(n-m)}{2}[/math]
