Задача №1195
Условие
Доказать, что при \(x\to{0}\) бесконечно малые величины \(e^{2x}-e^x\) и \(\sin{2x}-\sin{x}\) будут эквивалентными.
Решение
\[
\lim_{x\to{0}}\frac{e^{2x}-e^x}{\sin{2x}-\sin{x}}
=\left[\frac{0}{0}\right]
=\lim_{x\to{0}}\frac{e^x\cdot\left(e^x-1\right)}{\sin{2x}-\sin{x}}
=\lim_{x\to{0}}\frac{e^x\cdot\frac{e^x-1}{x}}{2\cdot\frac{\sin{2x}}{2x}-\frac{\sin{x}}{x}}
=\frac{1\cdot{1}}{2-1}
=1.
\]
Так как \(\lim_{x\to{0}}\frac{e^{2x}-e^x}{\sin{2x}-\sin{x}}=1\), то бесконечно малые при \(x\to{0}\) функции \(e^{2x}-e^x\) и \(\sin{2x}-\sin{x}\) эквивалентны.
Ответ:
Утверждение доказано.