0413-1
Информация о задаче
Задача №413 параграфа №4 главы №2 "Предел. Непрерывность" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Доказать, что при [math]x\to{0}[/math] бесконечно малые величины [math]e^{2x}-e^x[/math] и [math]\sin{2x}-\sin{x}[/math] будут эквивалентными.
Решение
[dmath] \lim_{x\to{0}}\frac{e^{2x}-e^x}{\sin{2x}-\sin{x}} =\left[\frac{0}{0}\right] =\lim_{x\to{0}}\frac{e^x\cdot\left(e^x-1\right)}{\sin{2x}-\sin{x}} =\lim_{x\to{0}}\frac{e^x\cdot\frac{e^x-1}{x}}{2\cdot\frac{\sin{2x}}{2x}-\frac{\sin{x}}{x}} =\frac{1\cdot{1}}{2-1} =1. [/dmath]
Так как [math]\lim_{x\to{0}}\frac{e^{2x}-e^x}{\sin{2x}-\sin{x}}=1[/math], то бесконечно малые при [math]x\to{0}[/math] функции [math]e^{2x}-e^x[/math] и [math]\sin{2x}-\sin{x}[/math] эквивалентны.
Ответ
Утверждение доказано.
