Задача №1194
Условие
Найти предел \(\lim_{x\to{0}}\left(\cos{x}+a\sin{bx}\right)^{\frac{1}{x}}\).
Решение
Запишем пару вспомогательных пределов.
\[
\begin{aligned}
&\lim_{x\to{0}}\frac{\cos{x}-1}{x}=\lim_{x\to{0}}\frac{-2\sin^2\frac{x}{2}}{x}=0;\\
&\lim_{x\to{0}}\frac{a\sin{bx}}{x}=ab.
\end{aligned}
\]
Исходя из этих пределов получим:
\[
\lim_{x\to{0}}\frac{\cos{x}-1+a\sin{bx}}{x}
=\lim_{x\to{0}}\left(\frac{\cos{x}-1}{x}+\frac{a\sin{bx}}{x}\right)
=0+ab
=ab.
\]
Вернёмся к пределу, заданному в условии:
\[
\lim_{x\to{0}}\left(\cos{x}+a\sin{bx}\right)^{\frac{1}{x}}
=\lim_{x\to{0}}\left(1+\cos{x}-1+a\sin{bx}\right)^{\frac{1}{x}}=\\
=\lim_{x\to{0}}\left(\left(1+\cos{x}-1+a\sin{bx}\right)^{\frac{1}{\cos{x}-1+a\sin{bx}}}\right)^{\frac{\cos{x}-1+a\sin{bx}}{x}}
=e^{ab}.
\]
Ответ:
\(e^{ab}\)