Задача №1192
Условие
Найти предел \(\lim_{x\to{0}}\left(\frac{\sin{x}}{x}\right)^{\frac{\sin{x}}{x-\sin{x}}}\).
Решение
\[
\lim_{x\to{0}}\left(\frac{\sin{x}}{x}\right)^{\frac{\sin{x}}{x-\sin{x}}}
=\left[1^{\infty}\right]
=\lim_{x\to{0}}\left(1+\frac{\sin{x}}{x}-1\right)^{\frac{\sin{x}}{x-\sin{x}}}
=\lim_{x\to{0}}\left(1+\frac{\sin{x}-x}{x}\right)^{\frac{\sin{x}}{\sin{x}-x}\cdot(-1)}
=e^{-1}
=\frac{1}{e}
\]
Ответ:
\(\frac{1}{e}\)