Задача №1189
Условие
Найти предел \(\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x^n}\right)^{x}\) при \(n\gt{0}\).
Решение
Если \(0\lt{n}\lt{1}\), то при \(x\to+\infty\) имеем \(x^{1-n}\to+\infty\), поэтому получим:
\[
\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x^n}\right)^{x}
=\lim_{x\to+\infty}\left(\left(1+\frac{1}{x^n}\right)^{x^n}\right)^{x^{1-n}}
=+\infty.
\]
Если \(n=1\), то получим:
\[
\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x^n}\right)^{x}
=\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}
=e.
\]
Если \(n\gt{1}\), то при \(x\to+\infty\) имеем \(x^{1-n}\to{0}\), поэтому:
\[
\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x^n}\right)^{x}
=\lim_{x\to+\infty}\left(\left(1+\frac{1}{x^n}\right)^{x^n}\right)^{x^{1-n}}
=e^{0}
=1.
\]
Ответ:
- \(+\infty\) при \(0\lt{n}\lt{1}\);
- \(e\) при \(n=1\);
- \(1\) при \(n\gt{1}\).