0396-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №396 параграфа №4 главы №2 "Предел. Непрерывность" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти предел [math]\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x^n}\right)^{x}[/math] при [math]n\gt{0}[/math].

Решение

Если [math]0\lt{n}\lt{1}[/math], то при [math]x\to+\infty[/math] имеем [math]x^{1-n}\to+\infty[/math], поэтому получим:

[dmath] \lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x^n}\right)^{x} =\lim_{x\to+\infty}\left(\left(1+\frac{1}{x^n}\right)^{x^n}\right)^{x^{1-n}} =+\infty. [/dmath]

Если [math]n=1[/math], то получим:

[dmath] \lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x^n}\right)^{x} =\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x} =e. [/dmath]

Если [math]n\gt{1}[/math], то при [math]x\to+\infty[/math] имеем [math]x^{1-n}\to{0}[/math], поэтому:

[dmath] \lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x^n}\right)^{x} =\lim_{x\to+\infty}\left(\left(1+\frac{1}{x^n}\right)^{x^n}\right)^{x^{1-n}} =e^{0} =1. [/dmath]

Ответ

  • [math]+\infty[/math] при [math]0\lt{n}\lt{1}[/math];
  • [math]e[/math] при [math]n=1[/math];
  • [math]1[/math] при [math]n\gt{1}[/math].