Задача №1188
Условие
Найти предел \(\lim_{x\to{0}}\frac{\arcsin{x}-\arctg{x}}{x^3}\).
Решение
Рассмотрим вспомогательный предел, чтобы не загромождать запись с дальнейшем:
\[
\lim_{x\to{0}}\frac{1-\sqrt{1-x^2}}{x^2}
=\lim_{x\to{0}}\frac{\left(1-\sqrt{1-x^2}\right)\left(1+\sqrt{1-x^2}\right)}{x^2\left(1+\sqrt{1-x^2}\right)}
=\lim_{x\to{0}}\frac{1}{1+\sqrt{1-x^2}}
=\frac{1}{2}.
\]
Возвращаясь к исходному пределу, получим:
\[
\lim_{x\to{0}}\frac{\arcsin{x}-\arctg{x}}{x^3}
=\lim_{x\to{0}}\frac{\arctg\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}-\arctg{x}}{x^3}
=\lim_{x\to{0}}\frac{\arctg\frac{x\left(x-\sqrt{1-x^2}\right)}{x^2+\sqrt{1-x^2}}}{x^3}=\\
=\lim_{x\to{0}}\left(\frac{\arctg\frac{x\left(x-\sqrt{1-x^2}\right)}{x^2+\sqrt{1-x^2}}}{\frac{x\left(x-\sqrt{1-x^2}\right)}{x^2+\sqrt{1-x^2}}}\cdot\frac{x-\sqrt{1-x^2}}{x^2}\cdot\frac{1}{x^2+\sqrt{1-x^2}} \right)
=1\cdot\frac{1}{2}\cdot{1}
=\frac{1}{2}.
\]
Ответ:
\(\frac{1}{2}\)