Задача №1187
Условие
Найти предел \(\lim_{x\to\infty}x\left(\arctg\frac{x+1}{x+2}-\arctg\frac{x}{x+2}\right)\).
Решение
\[
\lim_{x\to\infty}x\left(\arctg\frac{x+1}{x+2}-\arctg\frac{x}{x+2}\right)
=\lim_{x\to\infty}\left(x\cdot\arctg\frac{x+2}{2x^2+5x+4}\right)=\\
=\lim_{x\to\infty}\left(\frac{\arctg\frac{x+2}{2x^2+5x+4}}{\frac{x+2}{2x^2+5x+4}}\cdot\frac{x^2+2x}{2x^2+5x+4}\right)
=1\cdot\frac{1}{2}
=\frac{1}{2}.
\]
Ответ:
\(\frac{1}{2}\)