Задача №1186
Условие
Найти предел \(\lim_{x\to\infty}x\left(\arctg\frac{x+1}{x+2}-\frac{\pi}{4}\right)\).
Решение
\[
\begin{aligned}
& \arctg{x}-\arctg{y}=\arctg\frac{x-y}{1+xy};\;xy\gt{-1}.\\
& \arctg\frac{x+1}{x+2}-\arctg{1}=\arctg\frac{-1}{2x+3}.
\end{aligned}
\]
\[
\lim_{x\to\infty}x\left(\arctg\frac{x+1}{x+2}-\frac{\pi}{4}\right)
=\lim_{x\to\infty}\left(x\cdot\arctg\frac{-1}{2x+3}\right)
=\lim_{x\to\infty}\left(\frac{\arctg\frac{-1}{2x+3}}{\frac{-1}{2x+3}}\cdot\frac{-x}{2x+3}\right)
=-\frac{1}{2}.
\]
Ответ:
\(-\frac{1}{2}\)