0392-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №392 параграфа №4 главы №2 "Предел. Непрерывность" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти предел [math]\lim_{x\to\infty}\left(\cos\sqrt{x+1}-\cos\sqrt{x}\right)[/math].

Решение

Отмечу, что в данном случае речь идёт о [math]+\infty[/math], т.е. [math]x\to+\infty[/math]. Рассмотрим вспомогательный предел:

[dmath] \lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{2} =\lim_{x\to+\infty}\frac{\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\right)\cdot\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\right)}{2\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\right)} =\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{2\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\right)} =0. [/dmath]

Вернёмся к исходному пределу:

[dmath] \lim_{x\to+\infty}\left(\cos\sqrt{x+1}-\cos\sqrt{x}\right) =\lim_{x\to+\infty}\left(-2\sin\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{2}\cdot\sin\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{2}\right) [/dmath]

Функция [math]\sin\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{2}[/math] является ограниченной, а функция [math]\sin\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{2}[/math] – бесконечно малой. Это значит, что произведение упомянутых функций есть функция бесконечно малая, т.е. искомый предел равен 0.

Ответ

0