Задача №1185
Условие
Найти предел \(\lim_{x\to\infty}\left(\cos\sqrt{x+1}-\cos\sqrt{x}\right)\).
Решение
Отмечу, что в данном случае речь идёт о \(+\infty\), т.е. \(x\to+\infty\). Рассмотрим вспомогательный предел:
\[
\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{2}
=\lim_{x\to+\infty}\frac{\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\right)\cdot\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\right)}{2\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\right)}
=\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{2\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\right)}
=0.
\]
Вернёмся к исходному пределу:
\[
\lim_{x\to+\infty}\left(\cos\sqrt{x+1}-\cos\sqrt{x}\right)
=\lim_{x\to+\infty}\left(-2\sin\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{2}\cdot\sin\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{2}\right)
\]
Функция \(\sin\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{2}\) является ограниченной, а функция \(\sin\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{2}\) – бесконечно малой. Это значит, что произведение упомянутых функций есть функция бесконечно малая, т.е. искомый предел равен 0.
Ответ:
0