Задача №1183

Обозначим \(y_n=\cos\frac{x}{2}\cos\frac{x}{4}\ldots\cos\frac{x}{2^n}\). Очевидно, что при \(x=0\) получим \(y_n=1\), \(n\in{N}\). Рассмотрим отдельно случай (он пригодится в дальнейшем решении), когда параметр \(x\) имеет вид \(x=2^i\pi{k}\), где \(k\in{Z\backslash\{0\}}\), \(i\in{N}\). Пусть число 2 входит в каноническое разложение \(|k|\) с степенью \(j\). Если число \(|k|\) – нечётное, то полагаем \(j=0\). Число \(|k|\) можем записать в виде \(|k|=2^j\cdot(2t+1)\), где \(t\in{N}\cup\{0\}\). Само число \(k\) запишем в такой форме:

Таким образом, любое число вида \(x=2^i\pi{k}\) можно представить в форме \(x=\sgn{k}\cdot{2^{i+j}}\cdot(2t+1)\pi\).

Рассмотрим член \(y_{i+j+1}\). Он будет содержать множитель \(\cos\frac{x}{2^{i+j+1}}\). Для этого множителя с учётом чётности косинуса получим следующее:

Это значит, что \(y_{i+j+1}=0\). При этом все члены последовательности \(\{y_n\}\), номер которых превышает \(n_0=i+j+1\), также будут содержать множитель \(\cos\frac{x}{2^{i+j+1}}\), т.е. при \(n\ge{n_0}\) получим \(y_n=0\).

С учётом вышеизложенного, можем сделать вывод, что при \(x=2^i\pi{k}\), где \(k\in{Z\backslash\{0\}}\) и \(i\in{N}\), имеем \(\lim_{n\to\infty}y_n=0\). Если \(x\neq{2^i\pi{k}}\), то получим:

Так как \(2\sin\frac{x}{2^i}\cos\frac{x}{2^i}=\sin\frac{x}{2^{i-1}}\), то:

Возвращаясь к пределу, будем иметь:

С учётом результатов предыдущего исследования при \(x=2^i\pi{k}\), ответ можно записать так: