0390-1
Информация о задаче
Задача №390 параграфа №4 главы №2 "Предел. Непрерывность" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти предел [math]\lim_{n\to\infty}\left(\cos\frac{x}{2}\cos\frac{x}{4}\ldots\cos\frac{x}{2^n}\right)[/math].
Решение
Обозначим [math]y_n=\cos\frac{x}{2}\cos\frac{x}{4}\ldots\cos\frac{x}{2^n}[/math]. Очевидно, что при [math]x=0[/math] получим [math]y_n=1[/math], [math]n\in{N}[/math]. Рассмотрим отдельно случай (он пригодится в дальнейшем решении), когда параметр [math]x[/math] имеет вид [math]x=2^i\pi{k}[/math], где [math]k\in{Z\backslash\{0\}}[/math], [math]i\in{N}[/math]. Пусть число 2 входит в каноническое разложение [math]|k|[/math] с степенью [math]j[/math]. Если число [math]|k|[/math] – нечётное, то полагаем [math]j=0[/math]. Число [math]|k|[/math] можем записать в виде [math]|k|=2^j\cdot(2t+1)[/math], где [math]t\in{N}\cup\{0\}[/math]. Само число [math]k[/math] запишем в такой форме:
[dmath] k=\sgn{k}\cdot|k| =\sgn{k}\cdot{2^j\cdot(2t+1)} [/dmath]
Таким образом, любое число вида [math]x=2^i\pi{k}[/math] можно представить в форме [math]x=\sgn{k}\cdot{2^{i+j}}\cdot(2t+1)\pi[/math].
Рассмотрим член [math]y_{i+j+1}[/math]. Он будет содержать множитель [math]\cos\frac{x}{2^{i+j+1}}[/math]. Для этого множителя с учётом чётности косинуса получим следующее:
[dmath] \cos\frac{x}{2^{i+j+1}} =\cos\frac{\sgn{k}\cdot{2^{i+j}}\cdot(2t+1)\pi}{2^{i+j+1}} =\cos\left(\frac{\pi}{2}+\pi{t}\right) =-\sin\pi{t} =0. [/dmath]
Это значит, что [math]y_{i+j+1}=0[/math]. При этом все члены последовательности [math]\{y_n\}[/math], номер которых превышает [math]n_0=i+j+1[/math], также будут содержать множитель [math]\cos\frac{x}{2^{i+j+1}}[/math], т.е. при [math]n\ge{n_0}[/math] получим [math]y_n=0[/math].
С учётом вышеизложенного, можем сделать вывод, что при [math]x=2^i\pi{k}[/math], где [math]k\in{Z\backslash\{0\}}[/math] и [math]i\in{N}[/math], имеем [math]\lim_{n\to\infty}y_n=0[/math]. Если [math]x\neq{2^i\pi{k}}[/math], то получим:
[dmath] 2^n\sin\frac{x}{2^n}\cdot{y_n}=2^n\cos\frac{x}{2}\cos\frac{x}{4}\ldots\cos\frac{x}{2^n}\cdot\sin\frac{x}{2^n} [/dmath]
Так как [math]2\sin\frac{x}{2^i}\cos\frac{x}{2^i}=\sin\frac{x}{2^{i-1}}[/math], то:
[dmath] 2^n\sin\frac{x}{2^n}\cdot{y_n}=\sin{x};\; y_n=\frac{\sin{x}}{2^n\sin\frac{x}{2^n}}. [/dmath]
Возвращаясь к пределу, будем иметь:
[dmath] \lim_{n\to\infty}y_n =\lim_{n\to\infty}\frac{\sin{x}}{2^n\sin\frac{x}{2^n}} =\lim_{n\to\infty}\left(\frac{\sin{x}}{x}\cdot\frac{1}{\frac{\sin\frac{x}{2^n}}{\frac{x}{2^n}}} \right) =\frac{\sin{x}}{x} [/dmath]
С учётом результатов предыдущего исследования при [math]x=2^i\pi{k}[/math], ответ можно записать так:
[dmath] \lim_{n\to\infty}y_n= \left\{\begin{aligned} &1;\;x=0.\\ &\frac{\sin{x}}{x};\;x\neq{0}. \end{aligned}\right. [/dmath]
Ответ
- 1 при [math]x=0[/math]
- [math]\frac{\sin{x}}{x}[/math] при [math]x\neq{0}[/math].
