Задача №1180
Условие
Найти предел \(\lim_{h\to{0}}\frac{\sin(a+3h)-3\sin(a+2h)+3\sin(a+h)-\sin{a}}{h^3}\).
Решение
Сразу докажем вспомогательное равенство, чтобы не делать громоздких записей впоследствии. Так как \(\sin{3z}=3\cos^2{z}\sin{z}-\sin^3{z}\), то получим:
\[
\sin\frac{3h}{2}-3\sin\frac{h}{2}
=3\cos^2\frac{h}{2}\sin\frac{h}{2}-\sin^3\frac{h}{2}-3\sin\frac{h}{2}=\\
=\sin\frac{h}{2}\cdot\left(3\cos^2\frac{h}{2}-\sin^2\frac{h}{2}-3\right)
=-4\sin^3\frac{h}{2}.
\]
Возвращаясь к заданному пределу, получим:
\[
\lim_{h\to{0}}\frac{\sin(a+3h)-3\sin(a+2h)+3\sin(a+h)-\sin{a}}{h^3}=\\
=\lim_{h\to{0}}\frac{\sin(a+3h)-\sin{a}-3\left(\sin(a+2h)-\sin(a+h)\right)}{h^3}=\\
=\lim_{h\to{0}}\frac{2\cos\frac{2a+3h}{2}\cdot\left(\sin\frac{3h}{2}-3\sin\frac{h}{2}\right)}{h^3}
=\lim_{h\to{0}}\frac{-8\sin^3\frac{h}{2}\cos\frac{2a+3h}{2}}{h^3}=\\
=\lim_{h\to{0}}\left(-\left(\frac{\sin\frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}\right)^3\cdot\cos\frac{2a+3h}{2}\right)
=-\cos{a}.
\]
Ответ:
\(-\cos{a}\)