0382-1

Информация о задаче

Задача №382 параграфа №4 главы №2 "Предел. Непрерывность" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти предел [math]\lim_{x\to\pm\infty}\frac{a^x-a^{-x}}{a^x+a^{-x}}[/math], [math]a\gt{0}[/math].

Решение

Если [math]a=1[/math], то [math]\lim_{x\to\pm\infty}\frac{a^x-a^{-x}}{a^x+a^{-x}}=0[/math]. Случай [math]a\neq{1}[/math] рассмотрим в двух пунктах. Для удобства запишем функцию [math]\frac{a^x-a^{-x}}{a^x+a^{-x}}[/math] в таком виде: [math]\frac{a^{2x}-1}{a^{2x}+1}[/math].

Пункт №1: [math]x\to-\infty[/math].

Если [math]0\lt{a}\lt{1}[/math], то [math]a^{2x}\to+\infty[/math], поэтому получим: [dmath] \lim_{x\to-\infty}\frac{a^{2x}-1}{a^{2x}+1} =\lim_{x\to-\infty}\frac{1-\frac{1}{a^{2x}}}{1+\frac{1}{a^{2x}}} =\frac{1-0}{1+0} =1. [/dmath]

Если [math]a\gt{1}[/math], то [math]a^{2x}\to{0}[/math], поэтому получим: [dmath] \lim_{x\to-\infty}\frac{a^{2x}-1}{a^{2x}+1} =\frac{0-1}{0+1} =-1. [/dmath]

Пункт №2: [math]x\to+\infty[/math].

Если [math]0\lt{a}\lt{1}[/math], то [math]a^{2x}\to{0}[/math], поэтому получим: [dmath] \lim_{x\to+\infty}\frac{a^{2x}-1}{a^{2x}+1} =\frac{0-1}{0+1} =-1. [/dmath]

Если [math]a\gt{1}[/math], то [math]a^{2x}\to+\infty[/math], поэтому получим: [dmath] \lim_{x\to+\infty}\frac{a^{2x}-1}{a^{2x}+1} =\lim_{x\to+\infty}\frac{1-\frac{1}{a^{2x}}}{1+\frac{1}{a^{2x}}} =\frac{1-0}{1+0} =1. [/dmath]

Ответ

Задача решена.