Задача №1175
Условие
Найти предел \(\lim_{x\to\pm\infty}\frac{a^x-a^{-x}}{a^x+a^{-x}}\), \(a\gt{0}\).
Решение
Если \(a=1\), то \(\lim_{x\to\pm\infty}\frac{a^x-a^{-x}}{a^x+a^{-x}}=0\). Случай \(a\neq{1}\) рассмотрим в двух пунктах. Для удобства запишем функцию \(\frac{a^x-a^{-x}}{a^x+a^{-x}}\) в таком виде: \(\frac{a^{2x}-1}{a^{2x}+1}\).
Пункт №1: \(x\to-\infty\).
Если \(0\lt{a}\lt{1}\), то \(a^{2x}\to+\infty\), поэтому получим:
\[
\lim_{x\to-\infty}\frac{a^{2x}-1}{a^{2x}+1}
=\lim_{x\to-\infty}\frac{1-\frac{1}{a^{2x}}}{1+\frac{1}{a^{2x}}}
=\frac{1-0}{1+0}
=1.
\]
Если \(a\gt{1}\), то \(a^{2x}\to{0}\), поэтому получим:
\[
\lim_{x\to-\infty}\frac{a^{2x}-1}{a^{2x}+1}
=\frac{0-1}{0+1}
=-1.
\]
Пункт №2: \(x\to+\infty\).
Если \(0\lt{a}\lt{1}\), то \(a^{2x}\to{0}\), поэтому получим:
\[
\lim_{x\to+\infty}\frac{a^{2x}-1}{a^{2x}+1}
=\frac{0-1}{0+1}
=-1.
\]
Если \(a\gt{1}\), то \(a^{2x}\to+\infty\), поэтому получим:
\[
\lim_{x\to+\infty}\frac{a^{2x}-1}{a^{2x}+1}
=\lim_{x\to+\infty}\frac{1-\frac{1}{a^{2x}}}{1+\frac{1}{a^{2x}}}
=\frac{1-0}{1+0}
=1.
\]
Ответ:
Задача решена.