0381-1
Информация о задаче
Задача №381 параграфа №4 главы №2 "Предел. Непрерывность" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти предел [math]\lim_{x\to\pm\infty}\frac{a^x}{a^x+1}[/math], [math]a\gt{0}[/math].
Решение
Если [math]a=1[/math], то [math]\lim_{x\to\pm\infty}\frac{a^x}{a^x+1}=\frac{1}{2}[/math]. Случай [math]a\neq{1}[/math] рассмотрим в двух пунктах. Для удобства запишем функцию [math]\frac{a^x}{a^x+1}[/math] в таком виде: [math]\frac{1}{1+a^{-x}}[/math].
Пункт №1: [math]x\to-\infty[/math].
Если [math]0\lt{a}\lt{1}[/math], то [math]a^{-x}\to{0}[/math], поэтому получим: [dmath] \lim_{x\to-\infty}\frac{1}{1+a^{-x}} =\frac{1}{1+0} =1. [/dmath]
Если [math]a\gt{1}[/math], то [math]a^{-x}\to+\infty[/math], поэтому получим: [dmath] \lim_{x\to-\infty}\frac{1}{1+a^{-x}} =0 [/dmath]
Пункт №2: [math]x\to+\infty[/math].
Если [math]0\lt{a}\lt{1}[/math], то [math]a^{-x}\to+\infty[/math], поэтому получим: [dmath] \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{1+a^{-x}} =0. [/dmath]
Если [math]a\gt{1}[/math], то [math]a^{-x}\to{0}[/math], поэтому получим: [dmath] \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{1+a^{-x}} =\frac{1}{1+0} =1. [/dmath]
Ответ
Задача решена.
