Задача №1174
Условие
Найти предел \(\lim_{x\to\pm\infty}\frac{a^x}{a^x+1}\), \(a\gt{0}\).
Решение
Если \(a=1\), то \(\lim_{x\to\pm\infty}\frac{a^x}{a^x+1}=\frac{1}{2}\). Случай \(a\neq{1}\) рассмотрим в двух пунктах. Для удобства запишем функцию \(\frac{a^x}{a^x+1}\) в таком виде: \(\frac{1}{1+a^{-x}}\).
Пункт №1: \(x\to-\infty\).
Если \(0\lt{a}\lt{1}\), то \(a^{-x}\to{0}\), поэтому получим:
\[
\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{1+a^{-x}}
=\frac{1}{1+0}
=1.
\]
Если \(a\gt{1}\), то \(a^{-x}\to+\infty\), поэтому получим:
\[
\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{1+a^{-x}}
=0
\]
Пункт №2: \(x\to+\infty\).
Если \(0\lt{a}\lt{1}\), то \(a^{-x}\to+\infty\), поэтому получим:
\[
\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{1+a^{-x}}
=0.
\]
Если \(a\gt{1}\), то \(a^{-x}\to{0}\), поэтому получим:
\[
\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{1+a^{-x}}
=\frac{1}{1+0}
=1.
\]
Ответ:
Задача решена.