0380-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №380 параграфа №4 главы №2 "Предел. Непрерывность" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти предел [math]\lim_{x\to\pm\infty}x\left(\sqrt{x^2+\sqrt{x^4+1}}-x\sqrt{2}\right)[/math].

Решение

Если [math]x\to-\infty[/math], то предел равен [math]-\infty[/math]. Если же [math]x\to+\infty[/math], то получим:

[dmath] \lim_{x\to+\infty}x\left(\sqrt{x^2+\sqrt{x^4+1}}-x\sqrt{2}\right) =\lim_{x\to+\infty}\frac{x\left(\sqrt{x^2+\sqrt{x^4+1}}-x\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{x^2+\sqrt{x^4+1}}+x\sqrt{2}\right)}{\sqrt{x^2+\sqrt{x^4+1}}+x\sqrt{2}}=\\ =\lim_{x\to+\infty}\frac{x\left(\sqrt{x^4+1}-x^2\right)}{\sqrt{x^2+\sqrt{x^4+1}}+x\sqrt{2}} =\lim_{x\to+\infty}\frac{x\left(\sqrt{x^4+1}-x^2\right)\left(\sqrt{x^4+1}+x^2\right)}{\left(\sqrt{x^2+\sqrt{x^4+1}}+x\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{x^4+1}+x^2\right)}=\\ =\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{\left(\sqrt{x^2+\sqrt{x^4+1}}+x\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{x^4+1}+x^2\right)} =\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{\left(\sqrt{1+\sqrt{1+\frac{1}{x^4}}}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{x^4+1}+x^2\right)} =0. [/dmath]

Ответ

При [math]x\to-\infty[/math] предел равен [math]-\infty[/math]; при [math]x\to+\infty[/math] предел равен 0.