Задача №1173
Условие
Найти предел \(\lim_{x\to\pm\infty}x\left(\sqrt{x^2+\sqrt{x^4+1}}-x\sqrt{2}\right)\).
Решение
Если \(x\to-\infty\), то предел равен \(-\infty\). Если же \(x\to+\infty\), то получим:
\[
\lim_{x\to+\infty}x\left(\sqrt{x^2+\sqrt{x^4+1}}-x\sqrt{2}\right)
=\lim_{x\to+\infty}\frac{x\left(\sqrt{x^2+\sqrt{x^4+1}}-x\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{x^2+\sqrt{x^4+1}}+x\sqrt{2}\right)}{\sqrt{x^2+\sqrt{x^4+1}}+x\sqrt{2}}=\\
=\lim_{x\to+\infty}\frac{x\left(\sqrt{x^4+1}-x^2\right)}{\sqrt{x^2+\sqrt{x^4+1}}+x\sqrt{2}}
=\lim_{x\to+\infty}\frac{x\left(\sqrt{x^4+1}-x^2\right)\left(\sqrt{x^4+1}+x^2\right)}{\left(\sqrt{x^2+\sqrt{x^4+1}}+x\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{x^4+1}+x^2\right)}=\\
=\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{\left(\sqrt{x^2+\sqrt{x^4+1}}+x\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{x^4+1}+x^2\right)}
=\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{\left(\sqrt{1+\sqrt{1+\frac{1}{x^4}}}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{x^4+1}+x^2\right)}
=0.
\]
Ответ:
При \(x\to-\infty\) предел равен \(-\infty\); при \(x\to+\infty\) предел равен 0.