0379-1
Информация о задаче
Задача №379 параграфа №4 главы №2 "Предел. Непрерывность" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти предел [math]\lim_{x\to\infty}\frac{(ax+1)^n}{x^n+A}[/math]. Отдельно рассмотреть случаи, когда [math]n[/math] есть:
- целое положительное число;
- целое отрицательное число;
- нуль.
Решение
Пункт №1
Если [math]n\in{N}[/math], то получим:
[dmath] \lim_{x\to\infty}\frac{(ax+1)^n}{x^n+A} =\lim_{x\to\infty}\frac{\left(a+\frac{1}{x^n}\right)^n}{1+\frac{A}{x^n}} =a^n. [/dmath]
Пункт №2
Обозначим [math]k=|n|[/math], тогда [math]n=-k[/math], [math]k\in{N}[/math].
[dmath] \lim_{x\to\infty}\frac{(ax+1)^n}{x^n+A} =\lim_{x\to\infty}\frac{(ax+1)^{-k}}{x^{-k}+A} =\lim_{x\to\infty}\frac{x^k}{(ax+1)^k\cdot\left(1+Ax^k\right)} [/dmath]
Рассмотрим 4 случая различных комбинаций значений параметров [math]a[/math] и [math]A[/math].
Если [math]a=0[/math], [math]A=0[/math], то получим: [dmath] \lim_{x\to\infty}\frac{x^k}{(ax+1)^k\cdot\left(1+Ax^k\right)} =\lim_{x\to\infty}x^k =\infty. [/dmath]
Если [math]a=0[/math], [math]A\neq{0}[/math], то получим: [dmath] \lim_{x\to\infty}\frac{x^k}{(ax+1)^k\cdot\left(1+Ax^k\right)} =\lim_{x\to\infty}\frac{x^k}{1+Ax^k} =\lim_{x\to\infty}\frac{1}{\frac{1}{x^k}+A} =\frac{1}{A}. [/dmath]
Если [math]a\neq{0}[/math], [math]A=0[/math], то получим: [dmath] \lim_{x\to\infty}\frac{x^k}{(ax+1)^k\cdot\left(1+Ax^k\right)} =\lim_{x\to\infty}\frac{x^k}{(ax+1)^k} =\lim_{x\to\infty}\frac{1}{\left(a+\frac{1}{x}\right)^k} =\frac{1}{a^k} =a^n. [/dmath]
Если [math]a\neq{0}[/math], [math]A\neq{0}[/math], то получим: [dmath] \lim_{x\to\infty}\frac{x^k}{(ax+1)^k\cdot\left(1+Ax^k\right)} =\lim_{x\to\infty}\frac{1}{(ax+1)^k\cdot\left(\frac{1}{x^k}+A\right)} =0. [/dmath]
Пункт №2
Если [math]n=0[/math], то получим:
[dmath] \lim_{x\to\infty}\frac{(ax+1)^n}{x^n+A} =\frac{1}{1+A}. [/dmath]
Ответ
Задача решена.
