Задача №1172
Условие
Найти предел \(\lim_{x\to\infty}\frac{(ax+1)^n}{x^n+A}\). Отдельно рассмотреть случаи, когда \(n\) есть:
- целое положительное число;
- целое отрицательное число;
- нуль
Решение
Пункт №1
Если \(n\in{N}\), то получим:
\[
\lim_{x\to\infty}\frac{(ax+1)^n}{x^n+A}
=\lim_{x\to\infty}\frac{\left(a+\frac{1}{x^n}\right)^n}{1+\frac{A}{x^n}}
=a^n.
\]
Пункт №2
Обозначим \(k=|n|\), тогда \(n=-k\), \(k\in{N}\).
\[
\lim_{x\to\infty}\frac{(ax+1)^n}{x^n+A}
=\lim_{x\to\infty}\frac{(ax+1)^{-k}}{x^{-k}+A}
=\lim_{x\to\infty}\frac{x^k}{(ax+1)^k\cdot\left(1+Ax^k\right)}
\]
Рассмотрим 4 случая различных комбинаций значений параметров \(a\) и \(A\).
Если \(a=0\), \(A=0\), то получим:
\[
\lim_{x\to\infty}\frac{x^k}{(ax+1)^k\cdot\left(1+Ax^k\right)}
=\lim_{x\to\infty}x^k
=\infty.
\]
Если \(a=0\), \(A\neq{0}\), то получим:
\[
\lim_{x\to\infty}\frac{x^k}{(ax+1)^k\cdot\left(1+Ax^k\right)}
=\lim_{x\to\infty}\frac{x^k}{1+Ax^k}
=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{\frac{1}{x^k}+A}
=\frac{1}{A}.
\]
Если \(a\neq{0}\), \(A=0\), то получим:
\[
\lim_{x\to\infty}\frac{x^k}{(ax+1)^k\cdot\left(1+Ax^k\right)}
=\lim_{x\to\infty}\frac{x^k}{(ax+1)^k}
=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{\left(a+\frac{1}{x}\right)^k}
=\frac{1}{a^k}
=a^n.
\]
Если \(a\neq{0}\), \(A\neq{0}\), то получим:
\[
\lim_{x\to\infty}\frac{x^k}{(ax+1)^k\cdot\left(1+Ax^k\right)}
=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{(ax+1)^k\cdot\left(\frac{1}{x^k}+A\right)}
=0.
\]
Пункт №3
Если \(n=0\), то получим:
\[
\lim_{x\to\infty}\frac{(ax+1)^n}{x^n+A}
=\frac{1}{1+A}.
\]
Ответ:
Задача решена.