Задача №1171
Условие
Найти предел \(\lim_{x\to\pm\infty}\th{x}\).
Решение
\[
\th{x}
=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}
=\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}
=1-\frac{2}{e^{2x}+1}.
\]
Если \(x\to-\infty\), то \(e^{2x}\to{0}\); если \(x\to+\infty\), то \(e^{2x}\to+\infty\).
\[
\begin{aligned}
&\lim_{x\to-\infty}\th{x}=\lim_{x\to-\infty}\left(1-\frac{2}{e^{2x}+1}\right)=-1;\\
&\lim_{x\to+\infty}\th{x}=\lim_{x\to+\infty}\left(1-\frac{2}{e^{2x}+1}\right)=1.
\end{aligned}
\]
Ответ:
- -1 при \(x\to-\infty\);
- 1 при \(x\to+\infty\).