0372-1

Информация о задаче

Задача №372 параграфа №4 главы №2 "Предел. Непрерывность" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти предел [math]\lim_{x\to{0}}\frac{e^{x^2}-\cos{x}}{x^2}[/math].

Решение

Рассмотрим вспомогательный предел:

[math] \lim_{x\to{0}}\frac{1-\cos{x}}{x^2} =\left[\frac{0}{0}\right] =\lim_{x\to{0}}\frac{(1-\cos{x})\cdot(1+\cos{x})}{x^2\cdot(1+\cos{x})} =\lim_{x\to{0}}\left(\left(\frac{\sin{x}}{x}\right)^2\cdot\frac{1}{1+\cos{x}}\right) =\frac{1}{2}. [/math]

Возвращаясь к исходному пределу, получим:

[math] \lim_{x\to{0}}\frac{e^{x^2}-\cos{x}}{x^2} =\left[\frac{0}{0}\right] =\lim_{x\to{0}}\left(\frac{e^{x^2}-1}{x^2}+\frac{1-\cos{x}}{x^2}\right) =1+\frac{1}{2} =\frac{3}{2}. [/math]

Ответ

[math]\frac{3}{2}[/math]