Задача №1165
Условие
Найти предел \(\lim_{x\to{0}}\frac{e^{x^2}-\cos{x}}{x^2}\).
Решение
Рассмотрим вспомогательный предел:
\[
\lim_{x\to{0}}\frac{1-\cos{x}}{x^2}
=\left[\frac{0}{0}\right]
=\lim_{x\to{0}}\frac{(1-\cos{x})\cdot(1+\cos{x})}{x^2\cdot(1+\cos{x})}
=\lim_{x\to{0}}\left(\left(\frac{\sin{x}}{x}\right)^2\cdot\frac{1}{1+\cos{x}}\right)
=\frac{1}{2}.
\]
Возвращаясь к исходному пределу, получим:
\[
\lim_{x\to{0}}\frac{e^{x^2}-\cos{x}}{x^2}
=\left[\frac{0}{0}\right]
=\lim_{x\to{0}}\left(\frac{e^{x^2}-1}{x^2}+\frac{1-\cos{x}}{x^2}\right)
=1+\frac{1}{2}
=\frac{3}{2}.
\]
Ответ:
\(\frac{3}{2}\)