0369-1

Информация о задаче

Задача №369 параграфа №4 главы №2 "Предел. Непрерывность" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти предел [math]\lim_{h\to{0}}\frac{a^h-1}{h}[/math].

Решение

Для данной задачи полагаем [math]a\gt{0}[/math]. Если [math]a=1[/math], то предел равен нулю. Если [math]a\in(0;1)\cup(1;+\infty)[/math], то получим:

[dmath] \lim_{h\to{0}}\frac{a^h-1}{h} =\left[\begin{aligned} & t=a^h-1; t\to{0}.\\ & h=\log_a(1+t). \end{aligned}\right] =\lim_{t\to{0}}\frac{t}{\log_a(1+t)} =\lim_{t\to{0}}\frac{1}{\log_a\left(\left(1+t\right)^{\frac{1}{t}}\right)} =\frac{1}{\log_a{e}} =\ln{a}. [/dmath]

Ответ

[math]\ln{a}[/math]