0369-1
Реклама
Материал из Решебника
Информация о задаче
Задача №369 параграфа №4 главы №2 "Предел. Непрерывность" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти предел [math]\lim_{h\to{0}}\frac{a^h-1}{h}[/math].
Решение
Для данной задачи полагаем [math]a\gt{0}[/math]. Если [math]a=1[/math], то предел равен нулю. Если [math]a\in(0;1)\cup(1;+\infty)[/math], то получим:
[dmath] \lim_{h\to{0}}\frac{a^h-1}{h} =\left[\begin{aligned} & t=a^h-1; t\to{0}.\\ & h=\log_a(1+t). \end{aligned}\right] =\lim_{t\to{0}}\frac{t}{\log_a(1+t)} =\lim_{t\to{0}}\frac{1}{\log_a\left(\left(1+t\right)^{\frac{1}{t}}\right)} =\frac{1}{\log_a{e}} =\ln{a}. [/dmath]
Ответ
[math]\ln{a}[/math]
Заметили ошибку, опечатку, или неправильно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, об этом в данной теме на форуме (регистрация не требуется).