Задача №1162
Условие
Найти предел \(\lim_{h\to{0}}\frac{a^h-1}{h}\).
Решение
Для данной задачи полагаем \(a\gt{0}\). Если \(a=1\), то предел равен нулю. Если \(a\in(0;1)\cup(1;+\infty)\), то получим:
\[
\lim_{h\to{0}}\frac{a^h-1}{h}
=\left[\begin{aligned}
& t=a^h-1; t\to{0}.\\
& h=\log_a(1+t).
\end{aligned}\right]
=\lim_{t\to{0}}\frac{t}{\log_a(1+t)}
=\lim_{t\to{0}}\frac{1}{\log_a\left(\left(1+t\right)^{\frac{1}{t}}\right)}
=\frac{1}{\log_a{e}}
=\ln{a}.
\]
Ответ:
\(\ln{a}\)