0366-1

Информация о задаче

Задача №366 параграфа №4 главы №2 "Предел. Непрерывность" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти предел [math]\lim_{x\to{0}}\frac{\ln(a+x)-\ln{a}}{x}[/math].

Решение

Исходя из области определения логарифма имеем [math]a\gt{0}[/math].

[dmath] \lim_{x\to{0}}\frac{\ln(a+x)-\ln{a}}{x} =\left[\frac{0}{0}\right] =\lim_{x\to{0}}\left(\frac{1}{x}\cdot\ln\left(1+\frac{x}{a}\right)\right) =\lim_{x\to{0}}\left(\frac{1}{a}\cdot\ln\left(\left(1+\frac{x}{a}\right)^{\frac{a}{x}}\right)\right) =\frac{1}{a}\cdot\ln{e} =\frac{1}{a}. [/dmath]

Ответ

[math]\frac{1}{a}[/math]