Задача №1159
Условие
Найти предел \(\lim_{x\to{0}}\frac{\ln(a+x)-\ln{a}}{x}\).
Решение
Исходя из области определения логарифма имеем \(a\gt{0}\).
\[
\lim_{x\to{0}}\frac{\ln(a+x)-\ln{a}}{x}
=\left[\frac{0}{0}\right]
=\lim_{x\to{0}}\left(\frac{1}{x}\cdot\ln\left(1+\frac{x}{a}\right)\right)
=\lim_{x\to{0}}\left(\frac{1}{a}\cdot\ln\left(\left(1+\frac{x}{a}\right)^{\frac{a}{x}}\right)\right)
=\frac{1}{a}\cdot\ln{e}
=\frac{1}{a}.
\]
Ответ:
\(\frac{1}{a}\)