Задача №1158
Условие
Найти предел \(\lim_{x\to{0}}\frac{\ln(1+kx)}{x}\).
Решение
Если \(k=0\), то \(\lim_{x\to{0}}\frac{\ln(1+kx)}{x}=0\). Если же \(k\neq{0}\), то получим:
\[
\lim_{x\to{0}}\frac{\ln(1+kx)}{x}
=\left[\frac{0}{0}\right]
=\lim_{x\to{0}}\ln\left(\left(1+kx\right)^{\frac{1}{x}}\right)
=\lim_{x\to{0}}\left(k\cdot\ln\left(\left(1+kx\right)^{\frac{1}{kx}}\right)\right)
=k\cdot\ln{e}
=k.
\]
Ответ:
\(k\)