Задача №1154
Условие
Найти предел \(\lim_{x\to\pm\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^2}\).
Решение
Так как \(\lim_{x\to\pm\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e\), то получим:
\[
\begin{aligned}
& \lim_{x\to-\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^2}=\lim_{x\to-\infty}\left(\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}\right)^{x}=0;\\
& \lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^2}=\lim_{x\to+\infty}\left(\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}\right)^{x}=+\infty.
\end{aligned}
\]
Ответ:
При \(x\to-\infty\) предел равен 0; при \(x\to+\infty\) предел равен \(+\infty\).