Задача №1144
Условие
Найти предел \(\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x}{1+x}\right)^x\).
Решение
\[
\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x}{1+x}\right)^x
=\left[1^{\infty}\right]
=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{\left(\frac{x+1}{x}\right)^x}
=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{\left(1+\frac{1}{x}\right)^x}
=\frac{1}{e}.
\]
Ответ:
\(\frac{1}{e}\)