Задача №1138
Условие
Найти предел \(\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt{2}-\sqrt{1+\cos{x}}}{\sin^2{x}}\).
Решение
\[
\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt{2}-\sqrt{1+\cos{x}}}{\sin^2{x}}
=\left[\frac{0}{0}\right]
=\lim_{x\to{0}}\frac{\left(\sqrt{2}-\sqrt{1+\cos{x}}\right)\cdot\left(\sqrt{2}+\sqrt{1+\cos{x}}\right)}{\sin^2{x}\cdot\left(\sqrt{2}+\sqrt{1+\cos{x}}\right)}=\\
=\lim_{x\to{0}}\frac{1-\cos{x}}{\sin^2{x}\cdot\left(\sqrt{2}+\sqrt{1+\cos{x}}\right)}
=\lim_{x\to{0}}\frac{2\sin^2\frac{x}{2}}{4\sin^2\frac{x}{2}\cos^2\frac{x}{2}\cdot\left(\sqrt{2}+\sqrt{1+\cos{x}}\right)}=\\
=\lim_{x\to{0}}\frac{1}{2\cos^2\frac{x}{2}\cdot\left(\sqrt{2}+\sqrt{1+\cos{x}}\right)}
=\frac{1}{4\sqrt{2}}.
\]
Ответ:
\(\frac{1}{4\sqrt{2}}\)