0344-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №344 параграфа №4 главы №2 "Предел. Непрерывность" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти предел [math]\lim_{h\to{0}}\frac{\tg(a+2h)-2\tg(a+h)+\tg{a}}{h^2}[/math].

Решение

[math] \lim_{h\to{0}}\frac{\tg(a+2h)-2\tg(a+h)+\tg{a}}{h^2} =\left[\frac{0}{0}\right] =\lim_{h\to{0}}\frac{\tg(a+2h)-\tg(a+h)+\tg{a}-\tg(a+h)}{h^2}=\\ =\lim_{h\to{0}}\left(\frac{\sin{h}}{h^2\cos(a+h)}\cdot\left(\frac{1}{\cos(a+2h)}-\frac{1}{\cos{a}}\right)\right) =\lim_{h\to{0}}\left(\frac{\sin{h}}{h^2\cos(a+h)}\cdot\frac{\cos{a}-\cos(a+2h)}{\cos{a}\cdot\cos(a+2h)}\right)=\\ =\lim_{h\to{0}}\left(\left(\frac{\sin{h}}{h}\right)^2\cdot\frac{2\sin(a+h)}{\cos{a}\cdot\cos(a+h)\cdot\cos(a+2h)}\right) =\frac{2\sin{a}}{\cos^3{a}}. [/math]

Ответ

[math]\frac{2\sin{a}}{\cos^3{a}}[/math]