0342-1
Информация о задаче
Задача №342 параграфа №4 главы №2 "Предел. Непрерывность" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти предел [math]\lim_{a\to{b}}\frac{\sin^2{a}-\sin^2{b}}{a^2-b^2}[/math].
Решение
Если [math]b=0[/math], то получим:
[dmath] \lim_{a\to{b}}\frac{\sin^2{a}-\sin^2{b}}{a^2-b^2} =\lim_{a\to{0}}\frac{\sin^2{a}}{a^2} =\lim_{a\to{0}}\left(\frac{\sin{a}}{a}\right)^2 =1. [/dmath]
Если же [math]b\neq{0}[/math], то получим:
[dmath] \lim_{a\to{b}}\frac{\sin^2{a}-\sin^2{b}}{a^2-b^2} =\lim_{a\to{b}}\frac{(\sin{a}-\sin{b})\cdot(\sin{a}+\sin{b})}{(a-b)\cdot(a+b)} =\lim_{a\to{b}}\frac{2\cos\frac{a+b}{2}\sin\frac{a-b}{2}\cdot(\sin{a}+\sin{b})}{(a-b)\cdot(a+b)}=\\ =\lim_{a\to{b}}\left(\frac{\cos\frac{a+b}{2}\cdot(\sin{a}+\sin{b})}{a+b}\cdot\frac{\sin\frac{a-b}{2}}{\frac{a-b}{2}}\right) =\frac{2\cos{b}\sin{b}}{2b} =\frac{\sin{2b}}{2b}. [/dmath]
Ответ
[math]\frac{\sin{2b}}{2b}[/math]
