0340-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №340 параграфа №4 главы №2 "Предел. Непрерывность" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти предел [math]\lim_{x\to{0}}\frac{\cos(\alpha{x})-\cos(\beta{x})}{x^2}[/math].

Решение

Если [math]|\alpha|=|\beta|[/math], то [math]\cos(\alpha{x})-\cos(\beta{x})=0[/math], поэтому и заданный предел будет равен 0. Если же [math]|\alpha|\neq|\beta|[/math], то получим:

[math] \lim_{x\to{0}}\frac{\cos(\alpha{x})-\cos(\beta{x})}{x^2}=\left|\frac{0}{0}\right| =\lim_{x\to{0}}\frac{-2\sin\frac{\alpha{x}+\beta{x}}{2}\cdot\sin\frac{\alpha{x}-\beta{x}}{2}}{x^2}=\\ =-2\cdot\lim_{x\to{0}}\frac{\sin\left(x\cdot\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cdot\sin\left(x\cdot\frac{\alpha-\beta}{2}\right)}{x^2} =-2\cdot\lim_{x\to{0}}\left(\frac{\sin\left(x\cdot\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}{x}\cdot\frac{\sin\left(x\cdot\frac{\alpha-\beta}{2}\right)}{x}\right)=\\ =-2\cdot\lim_{x\to{0}}\left(\frac{\sin\left(x\cdot\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}{x\cdot\frac{\alpha+\beta}{2}}\cdot\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\frac{\sin\left(x\cdot\frac{\alpha-\beta}{2}\right)}{x\cdot\frac{\alpha-\beta}{2}}\cdot\frac{\alpha-\beta}{2}\right)=\\ =-\frac{(\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta)}{2}\lim_{x\to{0}}\frac{\sin\left(x\cdot\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}{x\cdot\frac{\alpha+\beta}{2}}\cdot\lim_{x\to{0}}\frac{\sin\left(x\cdot\frac{\alpha-\beta}{2}\right)}{x\cdot\frac{\alpha-\beta}{2}} =-\frac{\alpha^2-\beta^2}{2}\cdot{1}\cdot{1} =\frac{\beta^2-\alpha^2}{2}. [/math]

Полученный ранее результат при [math]|\alpha|=|\beta|[/math] подпадает под формулу [math]\frac{\beta^2-\alpha^2}{2}[/math], т.е. при [math]|\alpha|=|\beta|[/math] имеем [math]\frac{\beta^2-\alpha^2}{2}=0[/math]. Следовательно, заданный предел будет равен [math]\frac{\beta^2-\alpha^2}{2}[/math] при любых значениях [math]\alpha[/math] и [math]\beta[/math].

Ответ

[math]\frac{\beta^2-\alpha^2}{2}[/math]