0338-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №338 параграфа №4 главы №2 "Предел. Непрерывность" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти предел [math]\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\left(2x\tg{x}-\frac{\pi}{\cos{x}}\right)[/math].

Решение

[math] \lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\left(2x\tg{x}-\frac{\pi}{\cos{x}}\right) =\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{2x\sin{x}-\pi}{\cos{x}} =\left[\frac{0}{0}\right] =\left[\begin{aligned} & t=x-\frac{\pi}{2};\\ & t\to{0}. \end{aligned}\right] =\lim_{t\to{0}}\frac{2\left(t+\frac{\pi}{2}\right)\cos{t}-\pi}{-\sin{t}}=\\ =\lim_{t\to{0}}\frac{2t\cos{t}+\pi\cdot(\cos{t}-1)}{-\sin{t}} =\lim_{t\to{0}}\frac{2t\cos{t}+\pi\cdot{2\sin^2\frac{t}{2}}}{-\sin{t}} =\lim_{t\to{0}}\left(\frac{2t\cos{t}}{-\sin{t}}+\frac{\pi\cdot{2\sin^2\frac{t}{2}}}{2\sin\frac{t}{2}\cos\frac{t}{2}}\right) =\lim_{t\to{0}}\left(\frac{-1}{\frac{\sin{t}}{t}}\cdot{2\cos{t}}+\pi\tg\frac{t}{2}\right) =-2. [/math]

Ответ

-2