0337-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №337 параграфа №4 главы №2 "Предел. Непрерывность" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти предел [math]\lim_{x\to\pi}\frac{1-\sin\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2}\cdot\left(\cos\frac{x}{4}-\sin\frac{x}{2}\right)}[/math].

Решение

[math] \lim_{x\to\pi}\frac{1-\sin\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2}\cdot\left(\cos\frac{x}{4}-\sin\frac{x}{2}\right)} =\left|\frac{0}{0}\right| =\lim_{x\to\pi}\frac{\left(1-\sin\frac{x}{2}\right)\cdot\left(1+\sin\frac{x}{2}\right)\cdot\left(\cos\frac{x}{4}+\sin\frac{x}{4}\right)}{\cos\frac{x}{2}\cdot\left(\cos\frac{x}{4}-\sin\frac{x}{4}\right)\cdot\left(\cos\frac{x}{4}+\sin\frac{x}{4}\right)\cdot\left(1+\sin\frac{x}{2}\right)}=\\ =\lim_{x\to\pi}\frac{\left(1-\sin^2\frac{x}{2}\right)\cdot\left(\cos\frac{x}{4}+\sin\frac{x}{4}\right)}{\cos\frac{x}{2}\cdot\left(\cos^2\frac{x}{4}-\sin^2\frac{x}{4}\right)\cdot\left(1+\sin\frac{x}{2}\right)} =\lim_{x\to\pi}\frac{\cos^2\frac{x}{2}\cdot\left(\cos\frac{x}{4}+\sin\frac{x}{4}\right)}{\cos\frac{x}{2}\cdot\cos\frac{x}{2}\cdot\left(1+\sin\frac{x}{2}\right)} =\lim_{x\to\pi}\frac{\cos\frac{x}{4}+\sin\frac{x}{4}}{1+\sin\frac{x}{2}} =\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}}{1+1}=\frac{\sqrt{2}}{2}. [/math]

Ответ

[math]\frac{\sqrt{2}}{2}[/math]