0335-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №335 параграфа №4 главы №2 "Предел. Непрерывность" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти предел [math]\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\cos{x}-\sin{x}}{\cos{2x}}[/math].

Решение

[math] \lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\cos{x}-\sin{x}}{\cos{2x}} =\left[\frac{0}{0}\right] =\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\left(\cos{x}-\sin{x}\right)\cdot\left(\cos{x}+\sin{x}\right)}{\cos{2x}\cdot\left(\cos{x}+\sin{x}\right)}=\\ =\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\cos^2{x}-\sin^2{x}}{\cos{2x}\cdot\left(\cos{x}+\sin{x}\right)} =\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\cos{2x}}{\cos{2x}\cdot\left(\cos{x}+\sin{x}\right)} =\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\cos{x}+\sin{x}} =\frac{1}{\sqrt{2}}. [/math]

Ответ

[math]\frac{1}{\sqrt{2}}[/math]