0333-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №333 параграфа №4 главы №2 "Предел. Непрерывность" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти предел [math]\lim_{z\to{1}}(1-z)\tg\frac{\pi{z}}{2}[/math].

Решение

[math] \lim_{z\to{1}}(1-z)\tg\frac{\pi{z}}{2} =\left[0\cdot\infty\right] =\left[\begin{aligned}&t=z-1;\\&t\to{0}.\end{aligned}\right]=\\ =\lim_{t\to{0}}\left(-t\cdot\tg\frac{\pi(t+1)}{2}\right) =\lim_{t\to{0}}\left(t\cdot\ctg\frac{\pi{t}}{2}\right) =\lim_{t\to{0}}\left(\frac{1}{\frac{\sin\frac{\pi{t}}{2}}{\frac{\pi{t}}{2}}}\cdot\frac{2\cos\frac{\pi{t}}{2}}{\pi}\right) =\frac{2}{\pi}. [/math]

Ответ

[math]\frac{2}{\pi}[/math]