0332-1

Информация о задаче

Задача №332 параграфа №4 главы №2 "Предел. Непрерывность" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти предел [math]\lim_{x\to\pi}\frac{\sin{x}}{1-\frac{x^2}{\pi^2}}[/math].

Решение

[math] \lim_{x\to\pi}\frac{\sin{x}}{1-\frac{x^2}{\pi^2}} =\left[\frac{0}{0}\right] =\left[\begin{aligned}&t=x-\pi;\\&t\to{0}.\end{aligned}\right] =\lim_{t\to{0}}\frac{\sin(t+\pi)}{1-\frac{(t+\pi)^2}{\pi^2}} =\lim_{t\to{0}}\left(\frac{\sin{t}}{t}\cdot\frac{1}{\frac{t}{\pi^2}+\frac{2}{\pi}} \right) =\frac{\pi}{2}. [/math]

Ответ

[math]\frac{\pi}{2}[/math]