0329-1
Информация о задаче
Задача №329 параграфа №4 главы №2 "Предел. Непрерывность" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти предел [math]\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\cos{x}}{\sqrt[3]{(1-\sin{x})^2}}[/math].
Решение
[dmath] \lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\cos{x}}{\sqrt[3]{(1-\sin{x})^2}} =\left[\frac{0}{0}\right] =\left[\begin{aligned}& t=\frac{\pi}{2}-x;\\& t\to{0}.\end{aligned}\right] =\lim_{t\to{0}}\frac{\sin{t}}{\sqrt[3]{(1-\cos{t})^2}}=\\ =\lim_{t\to{0}}\frac{\sin{t}\cdot\sqrt[3]{(1+\cos{t})^2}}{\sqrt[3]{(1-\cos^2{t})^2}} =\lim_{t\to{0}}\frac{\sin{t}\cdot\sqrt[3]{(1+\cos{t})^2}}{\sqrt[3]{\sin^4{t}}} =\lim_{t\to{0}}\left(\frac{1}{\sqrt[3]{\sin{t}}}\cdot\sqrt[3]{(1+\cos{t})^2}\right) =\infty. [/dmath]
Ответ
[math]\infty[/math]
