Задача №1121
Условие
Найти предел \(\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{1-\sin{x}}{\left(\frac{\pi}{2}-x\right)^2}\).
Решение
\[
\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{1-\sin{x}}{\left(\frac{\pi}{2}-x\right)^2}
=\left[\frac{0}{0}\right]
=\left[\begin{aligned}& t=\frac{\pi}{2}-x;\\& t\to{0}.\end{aligned}\right]
=\lim_{t\to{0}}\frac{1-\cos{t}}{t^2}
=\lim_{t\to{0}}\left(\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{\sin\frac{t}{2}}{\frac{t}{2}}\right)^2\right)
=\frac{1}{2}.
\]
Ответ:
\(\frac{1}{2}\)