0326-1

Информация о задаче

Задача №326 параграфа №4 главы №2 "Предел. Непрерывность" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти предел [math]\lim_{x\to{0}}\frac{(1-\cos{x})^2}{\tg^3{x}-\sin^3{x}}[/math].

Решение

[math] \lim_{x\to{0}}\frac{(1-\cos{x})^2}{\tg^3{x}-\sin^3{x}} =\left|\frac{0}{0}\right| =\lim_{x\to{0}}\frac{(1-\cos{x})^2\cdot\cos^3{x}}{\sin^3{x}\cdot\left(1-\cos^3{x}\right)}=\\ =\lim_{x\to{0}}\frac{(1-\cos{x})\cdot\cos^3{x}}{\sin^3{x}\cdot\left(1+\cos{x}+\cos^2{x}\right)} =\lim_{x\to{0}}\frac{(1-\cos{x})\cdot(1+\cos{x})\cdot\cos^3{x}}{\sin^3{x}\cdot\left(1+\cos{x}+\cos^2{x}\right)\cdot(1+\cos{x})}=\\ =\lim_{x\to{0}}\frac{(1-\cos^2{x})\cdot\cos^3{x}}{\sin^3{x}\cdot\left(1+\cos{x}+\cos^2{x}\right)\cdot(1+\cos{x})} =\lim_{x\to{0}}\frac{\cos^3{x}}{\sin{x}\cdot\left(1+\cos{x}+\cos^2{x}\right)\cdot(1+\cos{x})} =\infty. [/math]

Ответ

[math]\infty[/math]