Задача №1118
Условие
Найти предел \(\lim_{x\to{0}}\frac{\tg{x}-\sin{x}}{x^3}\).
Решение
\[
\lim_{x\to{0}}\frac{\tg{x}-\sin{x}}{x^3}=\left|\frac{0}{0}\right|
=\lim_{x\to{0}}\frac{\frac{\sin{x}}{\cos{x}}-\sin{x}}{x^3}
=\lim_{x\to{0}}\frac{\sin{x}\cdot\left(\frac{1}{\cos{x}}-1\right)}{x^3}=\\
=\lim_{x\to{0}}\frac{\sin{x}\cdot\left(1-\cos{x}\right)}{x^3\cdot\cos{x}}
=\lim_{x\to{0}}\frac{\sin{x}\cdot{2}\sin^2\frac{x}{2}}{x^3\cdot\cos{x}}
=\frac{1}{2}\cdot\lim_{x\to{0}}\left(\frac{\sin{x}}{x}\cdot\left(\frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2\cdot\frac{1}{\cos{x}}\right)
=\frac{1}{2}\cdot{1}\cdot{1^2}\cdot{1}
=\frac{1}{2}.
\]
Ответ:
\(\frac{1}{2}\)